Défi "Dinnozzo"

[Ben314]

Pour occupper Dinozzo (et éventuellement d'autres...) pendant qu'il donne des indics sur son défi :

Donner les valeurs exactes des solutions de l'équation

Indication : employer une méthode "similaire" à celle de... ton propre défi...

[Lostounet]

Bonjour,
Je ne sais pas si ça pourrait mener quelque part, mais voici ce que j'ai fait..








Donc:
(x non nul)

Ça ne doit pas être trop utile je pense.

[beagle]

laisse moi faire Lost,
f(0)= +1
0 n'est pas racine,
et après je sais plus ...

[geegee]

-1 est racine je crois

[Dinozzo13]

Pour occupper Dinozzo

yeah, merci Ben314 :++:

[Olympus]

La constante est 1, or les seules racines entières possibles sont ses diviseurs, soit -1 et 1 . -1 marche comme racine évidente .

[geegee]

Je l ai juste vu sur en traçant la courbe

[Ben314]

C'est un bon début...

[Olympus]

EDIT : rien dit, je reposte dans quelques mins .

[Olympus]

On se ramène à avec ( il est légitime d'écrire car 0 n'est pas une racine de notre polynôme ) .

[Nightmare]

Pourquoi introduire x+1/x ?

[Olympus]

Pourquoi introduire x+1/x ?

Ben, vu que -1 est une racine évidente, il nous suffirait donc de résoudre pour trouver les autres racines .

Or comme c'est un polynôme à coefficients symétriques, et comme 0 n'est pas solution, on peut se permettre de diviser le tout par .

On aura donc :



Là, le changement de variable que j'ai introduit saute aux yeux

[beagle]

à partir de là je sais faire,
pour X = 0
f(X)=+7 qui n'est pas nul, donc -3/X est solution,ou 1/X est solution, ou -7x1/X est solution ou, le premier qui donne une règle comme celle de Ben gagne ma considération,
c'est pénible d'apprendre les solutions des polynomes uniquement sur des exemples, et en plus, plus tu fais d'exos et plus cela fait de solutions qui ont déjà marché à essayer ...

PS: désolé je suis en retard , je viens de la page 1

[Olympus]

Donc finalement, après avoir résolu , on se ramène à :

OU .

La première a deux racines réelles, et la deuxième deux racines complexes . ( mais un peu la flemme de les écrire/les calculer )

CQFD ^^

[Dinozzo13]

Une remarque, le polynôme est dit symétrique ses coefficient sont disposés de manière symétrique : 1 ; -5 ; 3 ; 3 ; -5 ; 1. Il en est de même pour .
Cela peu avoir une certaine importance.
Il me semble même que si un polynôme est symétrique alors "ma méthode" explicitée dans mon défi fonctionne à coup sûr.

On remarque qu'il y a une racine évidente , car . Il existe donc un polynôme de degré tel que, pour tout réel :

avec
Pour tout :


Par identification, cela équivaut à :

d'où

Ainsi
On résous alors .
, donc n'est pas racine de . On peut par conséquent supposer que si est racine de alors .
Soit un réel non nul.
Si est racine de alors
(ce qui équivaut à


Or si est racine de , par conséquent .
En conclusion, si est racine de alors l'est également.
Posons :
On a donc : .
Pour tout :


Déterminons alors les racines de ce trinôme d'inconnue :
donc


Or
On résous donc : [1] et [2]
Et au final on a donc pour solutions :
; ;

Waouh, c'est fini, ça m'a pris un peu tout l'aprem :ptdr:

[Dinozzo13]

Pourquoi introduire x+1/x ?

Parce qu'on a un polynôme symétrique.

[Nightmare]

Parce qu'on a un polynôme symétrique.

Oui mais en quoi le fait que le polynôme soit symétrique implique que ce changement de variable est judicieux? Je pense que ce n'est pas inutile d'y réfléchir. Olympus semble avoir commencer à le faire.

[Dinozzo13]

Il permet, en factorisant par (x-1/x), de regrouper avec 1 et avec car ils ont le même coefficient (3 pour la première paire et -6 pour la deuxième)

[Zweig]

On montre : polynôme P réciproque de degré n

En particulier (ce qui nous intéresse ici), on montre que :

* si est impair, alors il existe un polynôme réciproque de degré pair vérifiant :

* si est pair, alors il existe un polynôme réciproque g de degré n/2 vérifiant :

[Zweig]

Sinon, on parle de polynôme réciproque, pas symétrique, ces derniers étant (par ex polynôme symétrique à 2 variables) les polynômes vérifiant