[Défi 2nde] La touche e^x de la calculatrice

[Dinozzo13]

Bonsoir à tous, ayant trouvé un bon exercice de seconde assez sympa, je me permet de le partager avec vous, amusez-vous bien :++:

1°)a) A l'aide de la touche de la calculatrice, faire afficher les valeurs de pour toutes les valeurs de variant de à avec un pas de .
b) Placer les onze points correspondants dans un repère orthonormal.
2°) En déduire, en tracant de manière continue et régulière une courbe passant par ces points, l'allure possible de la représentation graphique de la fonction .
3°) Comparer et pour les valeurs de considérées précédemment.
Quelle propriété semble avoir la fonction ?
4°) Comparer et pour les valeurs de considérées précédemment.
Quelle propriété semble avoir la fonction ?



Remarque : La fonction est appelée fonction exponentielle.
On écrit aussi :
Pour plus d'informations : http://fr.wikipedia.org/wiki/E_(nombre).
De plus, il faut faire attention, n'est pas une variable, mais une constante :

Donc par conséquent la fonction peut-être écrite .
Enfin, sur la calculatrice, le nombre e doit toujours être suivis d'un nombre (celui désignant la puissance de ).
Sauf lorsque , ce qui paraît logique :zen:
Même si on a le nombre sans exposant, il faudra mettre sinon la calculatrice ne comprendras pas.
Pour résumer, toujours mettre un chiffre (en tant qu'exposant) après la constante

@---------------------> + ^^

[Nightmare]

Salut,

je me rappelle qu'en terminale, on avait vu, comme le veut le programme, qu'on notait indifféremment comme tu le signales. Bizarrement, cette notation n'a pas choqué plus que ça, alors qu'elle n'est pas anodine. Pourquoi la fonction exponentielle se comporte comme les puissances? Et surtout, que vient faire ce fameux "e", nombre d'Euler, là dedans?

Si l'on impose que exp(1)=e, alors il semble assez évident, au vue des propriétés de morphisme de l'exponentielle, que exp(x) se réduise à e^x. Cependant, en définissant e comme somme de la série , le lien entre ce nombre et l'exponentielle n'est pas inutile à exhiber.

[Dinozzo13]

Oui, mon prof aussi nous a montrer les deux notations.
Concernant le lien avec la série et e, peux-tu dévelloper ? merci.

[Nightmare]

Sans trop rentrer dans les détails, à moins que tu aies quelques connaissance sur la notion qui suit, il s'agit d'appliquer la formule de Taylor-Lagrange, qui grossièrement rapproche localement une fonction et ses dérivées successives.

L'exercice que j'ai proposé [url="http://maths-forum.com/showthread.php?t=102342"]ici[/url] donne une idée de la chose.

[Dinozzo13]

Pour l'instant non, mais je garde ça lorsque j'aurai les connaissances appropriée merci de très longue avance ^^

[Finrod]

On voit ça en BAC+1. (en général)

[Nightmare]

Pour résumer, toujours mettre un chiffre [...]

toujours mettre un nombre [...]

[Dinozzo13]

oui, en effet, je suis confus :ptdr:
Je traite en ce moment de l'arithmétique et donc voilà ^^

[Billball]

On voit ça en BAC+1. (en général)

confirmation :briques:

[ft73]

Sans trop rentrer dans les détails, à moins que tu aies quelques connaissance sur la notion qui suit, il s'agit d'appliquer la formule de Taylor-Lagrange, qui grossièrement rapproche localement une fonction et ses dérivées successives.

L'exercice que j'ai proposé [url="http://maths-forum.com/showthread.php?t=102342"]ici[/url] donne une idée de la chose.

l'égalité entre e=exp(1) et la série est simplement un exercice classique de terminale, sans connaissances sur Taylor.

[Nightmare]

l'égalité entre e=exp(1) et la série est simplement un exercice classique de terminale, sans connaissances sur Taylor.

Je suis curieux de voir comment tu procèdes alors.

[ft73]

Déjà tu peux montrer que la suite de tg u_n=1+...+1/n! converge, en exhibant une autre suite des sommes partielles adjacente (+1/(n.n!)). Optionnel !

Tu étudies ensuite f(x)=(1+x+...+x^n/n!).exp(-x) sur [0;1] et prouves que u_n

[Nightmare]

Déjà tu peux montrer que la suite de tg u_n=1+...+1/n! converge, en exhibant une autre suite des sommes partielles adjacente (+1/(n.n!)). Optionnel !

Tu étudies ensuite f(x)=(1+x+...+x^n/n!).exp(-x) sur [0;1] et prouves que u_n<exp(1). Tu considères pour finir g(x)=f(x)+x/n! et débouches sur exp(1)-exp(1)/n!<u_n.

Tiens, c'est intéressant ça, merci :happy3: