Congruences

par **Bertrand Hamant** » 08 Déc 2005, 18:35

Bonsoir voici l'énoncé

1) Démontrez que si l'on divise un entier n par 111, on trouve le meme reste qu'en divisant 1000n+ par 111.

Je remarque que le reste correspond au n l'entier naturel pris

si n =1 1000 congru à 1[111]
si n= 2 1000 congru à 2[111]

de même si n = 1

alors 1 = 1[111]

si n =2 alors 2 = 2[111]

est ce bon de le démontrer ainsi ?

2) Déduisez en que les deux nombres 10^8 +10^4+1 et 10^10 +10^8 +1
sont divisibles par 111.

je suis un peu bloqué

3) Démontrer que (a-2b)^5 = congru à a^5(modb)

4) résoudre x+3 congru à 4[7]
et 3x congru à [7]

merci d'une petite lumière

par **moroccan** » 08 Déc 2005, 18:47

Ta première question a été déjà posée, regarde ici :
http://www.maths-forum.com/showthread.php?t=9196
Bonne continuation.

par **Bertrand Hamant** » 08 Déc 2005, 19:02

je ne suis pas cette personne je m'appelle bertrand hamant

par **moroccan** » 08 Déc 2005, 19:10

Pour la question (3) :

Montre d'abord que a-2b = a [b]
Et tu si que si a = b [n] et c = d [n] alors ac = bd [n]
En particulier si a = b [n] alors a^p = b^p [n] (puissance)

Alors...?

par **moroccan** » 08 Déc 2005, 19:14

Ravi de vous connaître..
Ce que je voulais dire, c'est de 'profiter' des indications qui ont été présentées dans cette discussion, puisque c'est la même question dans les deux discussions.. :)

par **Bertrand Hamant** » 08 Déc 2005, 19:40

Et pour les équations comment les résolves t-on ?

par **Bertrand Hamant** » 08 Déc 2005, 19:46

pour démontrer que 10^8+10^4+1 est divisible par 111

puis je le faire ainsi

10 = 10[111]
10^8 = 10^8[111]

10 + 10^8 = 10^8 +10 [111]

10^4+10^8 = 10^8+10^4[111]
10^4+10^8+1 = 10^8+10^4+1[111]

donc 10^8+10^4+1 est divisible par 111

par **moroccan** » 08 Déc 2005, 19:50

Re,

Pour les équations, il suffit d'appliquer la définition!

a=b[n] <=> n | (a-b) (| : divise)

Par exemple : x + 3 = 4 [7]
<=> 7 | x+3-4
<=> 7 | x-1
<=> il existe un k de Z tel que x-1 = 7k , soit x = 7k +1

Donc l'ensemble de solutions est :
{7k +1/ k de Z}

OK?

C'est : { ......, -6, 8 , 15, ......}

par **Bertrand Hamant** » 08 Déc 2005, 19:55

et pour ma démonstration c bon pour montrer que 10^8+10^4+1 est divisible par 111

par **Bertrand Hamant** » 08 Déc 2005, 20:01

je pense que c'est bon ?

par **Bertrand Hamant** » 08 Déc 2005, 20:10

c suffisant maroconn alors ou non

par **moroccan** » 08 Déc 2005, 20:18

"et pour ma démonstration c bon pour montrer que 10^8+10^4+1 est divisible par 111"
"je pense que c'est bon ?"
"c suffisant maroconn alors ou non"

Mais je ne sais pas c'était quoi ta réponse à cette question pour je sache si c'est bon ou pas

par **Bertrand Hamant** » 08 Déc 2005, 20:25

pour démontrer que 10^8+10^4+1 est divisible par 111

puis je le faire ainsi

10 = 10[111]
10^8 = 10^8[111]

10 + 10^8 = 10^8 +10 [111]

10^4+10^8 = 10^8+10^4[111]
10^4+10^8+1 = 10^8+10^4+1[111]

donc 10^8+10^4+1 est divisible par 111

ou dois je le faire avec

10 = -101[111]

10 = -(10² + 1)[111]
10^8 =-(10²+1)^8[111]
10+10^8=10 -(10²+1)^8[111]
10^4+10^8 = -(10²+1)^8-(10²+1)^4[111]
10^4+10+1 = 0[111]

est ce correcte ou dites où l'érreur

par **Bertrand Hamant** » 08 Déc 2005, 20:34

c bon alors marocon

par **Bertrand Hamant** » 08 Déc 2005, 20:38

je crois que j'ai trouvé

10 = -101[111]

10= -(10²+1)[111]

10^4 = -(10²+1)^4[111]

10^4+ 10^8 = -(10²+1)^4+10^8[111]

1+10^4+10^8 = -(10²+1)^4+10^8+1[111]

or -(10²+1)^4+10^8+1 = 0

soit donc 1+10^4+10^8 = 0[111] CQFD

par **moroccan** » 08 Déc 2005, 20:43

Sincèrement j'ai pas pu vérifié cette démonstration, je dois partir :( Désolé.

Bonne chance!!

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