Carré & Aire minimale

Réponses à toutes vos questions de la 2nde à la Terminale toutes séries
Toni2
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Carré & Aire minimale

par Toni2 » 13 Sep 2009, 19:52

Bonsoir à toutes et à tous,
J'aurais besoin d'un petit coup de pouce s'il vous plait pour m'aider dans mon exercice et savoir si ce que j'ai fait est correcte,

Voila l'énoncer :
Soit ABCD un carré de coté 10. On considère les points M, N, P, et Q respectivement sur [AB], [BC], [CD], [DA] tels que :
AM=BN=CP=DQ= x

Les Questions:
1* Montrer que le quadrilatère MNPQ est un carré et calculer son aire en fonction de x.
2* Pour quels valeur de x l'aire de MNPQ est-elle minimale ?
la figure est un carré ABCD qui introduit un quadrilatère MNPQ.
Mes réponses:
1/ Avec le théorème de Pythagore j'ai montrer que chaque coter de MNPQ vaut [smb]racine[/smb](10-x)²+x² .
Pour l'air de MNPQ en fonction de x je trouve : 2x²-20x+100.

Mes Problèmes :
1/ Il me semble qu'en plus de montrer que les cotés de MNPQ sont égaux il faut montrer qu'il à des angle droit et je ne voit plus comment faire :?
J'ai essayer de calculer aussi avec la réciproque de Pythagore les angles Q et N dans les triangles MQP et MNP mais je me rend compte que pour trouver les angles droits dans le carré MNQP il me fallait la longueur de MP ou QN (les diagonales) or je ne les es pas, je pourrais alors les calculer avec Pythagore mais cela nécessite des triangles rectangle que je suis justement en train de calculer (si ils sont rectangles) !
Je suis dans une impasse aidez moi S'ils vous plait :hein: :hein:

2/ J'ai donc procéder comme cela :
DELTA= (-20)²-4x2x100
DELTA= 400-800
DELTA= -400=> pas de racine de -400.. ou alors 20 si exception ?

Je ne peut alors résoudre f(x)=0 si DELTA[inférieur à]0. Donc S=enssemble VIDE ??
Mais alors, pour la question 2 :
->2° Pour quels valeur de x l'aire de MNPQ est-elle minimale ?

Je répond quoi ? *Aucune valeur de x rend minimale l'aire de MNPQ Ca me parait étrange non ? :doh:


Je n'est habituellement pas de problème pour les mathématiques mais cette année je commence avec un prof remplacent qui utilise la méthode |Application->Cours->DS| et ça ne me convient pas trop, voila pourquoi je pose beaucoup de question :girl2:
Si quelqu'un pourrait étudier un instant mon post et me confirmer mes réponses ainsi que m'aider aux deux petits problème que l'exercice me pose, je le remercie énormément d'avance :id: .



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Sa Majesté
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par Sa Majesté » 13 Sep 2009, 20:54

Salut

Pour montrer que les angles du quadrilatère MNPS sont droits, montre que les triangles AMQ, BNM, CPN et DQP sont égaux

Du coup les angles AMQ et DQP sont égaux

Et comme (en angle) AMQ + MQA + QAM = 180° ...

Pour le trinôme, pourquoi calculer le discriminant ?
2x²-20x+100 est minimal lorsque sa dérivée est nulle

beagle
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par beagle » 14 Sep 2009, 08:49

dommage de ne pas avoir joué avec ce problème,
la devise du site est bouge tes f..... avant de poster.
Elle devrait ètre bouge ton x.
On a la chance? d'avoir une représentation visuelle du problème.
Donc s'embarquer sur des formules, oui, OK si à l'aise.
mais ici, sans trop d'algèbre, on pouvait dessiner, voire colorier.

Avec de la géométrie de CM2 on avait la surface comme étant 4 moitiés de rectangle (4 triangles) plus un petit carré central.Donc une formule pas trop difficile pour la surface.
Et ce mème dessin donnait la démonstration de MNOP carré, angles droits les doigts dans le nez.

Ensuite pour la variation de surface.
Cette surface dépassait la moitié de la surface initiale à cause du petit carré central, les triangles faisant moite-moite.
Pour rendre la surface minimale il fallait se rapprocher de la moitié du carré initial en rapetissant le carré central.Le carré central qui est 10-2x de coté devient nul pour x moitié d'AB.

En bougeant l'x dans le coloriage on voyait une surface max pour M=A, on voyait que cela diminuait jusqu'à la moitié, pour remonter car si M tend vers B, voire M=B c'est symétrique, seuls les noms de lettre ont changé, mais c'est idem.

Difficile de savoir dans quel cadre était donné l'exo, et le but recherché.
Mais il y avait de quoi s'amuser dans la corrélation entre géométrie et algèbre,
entre bouger l'x sur le dessin et bouger l'x sur une courbe.

Mais les jeunes ne savent plus s'amuser?

Toni2
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S'ils vous plait.

par Toni2 » 14 Sep 2009, 19:24

Tout d'abord merci pour vos réponses ,

J'explique en brève mon cas, j'ai un prof remplaçant cette année pour 4mois qui nous donne pas de cours et nous lâche cash un DM avec cette exercice voila pourquoi je peine un peu..

Pour en revenir a l'exercice,

Quetions:
1° Montrer que le quadrilatère MNPQ est un carré et calculer son aire en fonction de x.
Pour l'aire je trouve 2x²-20x+100.
En ce qui concerne prouver le quadrilatère MNPQ carré,
J'ai déjà prouver avec Pythagore QM=MN=NP=PQ= RACINE(10-x)²+x².
MAINTENANT pour prouver que ses angles sont droit soit M,N,P ou Q je ne voit en quoi cela est vérifié en faisant cela :

"Montrer que les triangles AMQ, BNM, CPN et DQP sont égaux
Du coup les angles AMQ et DQP sont égaux.
Et comme (en angle) AMQ + MQA + QAM = 180° ..."


2° Pour quels valeur de x l'aire de MNPQ est-elle minimale ?
Je ne voi pas ce que tu veut dire dans :
"2x²-20x+100 est minimal lorsque sa dérivée est nulle"


Pourriez vous me mettre sur la voie me montrer quel calcule doi-je faire pour atteindre mon but, et me dire si mon air est bon ? S'il vous plait, je cherche encore et encore depuis 2jours et c'est pour demain =( je ne veut vraiment pas louper mon premier coche.. J'espère que vous me comprenez.
MERCI.

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Sa Majesté
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par Sa Majesté » 14 Sep 2009, 19:30

Toni2 a écrit:"Montrer que les triangles AMQ, BNM, CPN et DQP sont égaux
Du coup les angles AMQ et DQP sont égaux.
Et comme (en angle) AMQ + MQA + QAM = 180° ..."

La somme des angles d'un triangle vaut 180° donc AMQ + MQA + QAM = 180°

Et QAM = 90° donc AMQ + MQA = 90°

Les triangles AMQ et DQP sont égaux donc AMQ = DQP

Donc DQP + MQA = 90°

Je pense que tu peux finir maintenant ...

Toni2
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par Toni2 » 14 Sep 2009, 19:32

Voila pour être plus clair:

EDIT : la publication de scan de livre sur le domaine public est illégale.

Je remercie beaucoup de m'aider :happy2: .

Toni2
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par Toni2 » 14 Sep 2009, 19:39

D'accord, je comprend mais je ne voit pas en quoi cela montre que les angles du petit carré MNQP (dois prouver que s'en est un) sont carré.. Je ne voi pas le lien autour de cela à moin que ce soit que :

Vu que DQP + MQA = 90° alrs MQP = 90° pour compléter les 180° vu que c'est sur un coté ?
Et je doit en faire de même pour l'angle MNP et cela suffirais a prouver que MNPQ est un carré alors !

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par Sa Majesté » 14 Sep 2009, 19:44

Que peux-tu dire de DQP + PQM + MQA ?

Toni2
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par Toni2 » 14 Sep 2009, 19:50

Et bien, DQP + PQM + MQA = 180° voila=) Merci beaucoup !

Je me permet de te poser quelques dernière petites questions ,

Pour l'air de MNPQ en fonction de x je trouve : 2x²-20x+100.
Avec le théorème de Pythagore j'ai montrer que chaque coter de MNPQ vaut RACINE(10-x)²+x² .
Mes résultats sont -il correctes ?

Et pour la questions 2,
2° Pour quels valeur de x l'aire de MNPQ est-elle minimale ?
Vous m'aviez dit : "2x²-20x+100 est minimal lorsque sa dérivée est nulle"
Mais je n'est jamais vu cela comment doit-je procéder quel calcule doit-je faire s'il vous plait ?

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par Sa Majesté » 14 Sep 2009, 20:00

Toni2 a écrit:Et bien, DQP + PQM + MQA = 180° voila=) Merci beaucoup !

Je me permet de te poser quelques dernière petites questions ,

Pour l'air de MNPQ en fonction de x je trouve : 2x²-20x+100.
Avec le théorème de Pythagore j'ai montrer que chaque coter de MNPQ vaut RACINE(10-x)²+x² .
Mes résultats sont -il correctes ?

Oui c'est bon

Toni2 a écrit:Et pour la questions 2,
2° Pour quels valeur de x l'aire de MNPQ est-elle minimale ?
Vous m'aviez dit : "2x²-20x+100 est minimal lorsque sa dérivée est nulle"
Mais je n'est jamais vu cela comment doit-je procéder quel calcule doit-je faire s'il vous plait ?

Que sais-tu sur les polynômes du second degré ?

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par Toni2 » 14 Sep 2009, 20:06

Et bien sur les polynômes du second degré d'après le cours de mon manuel :we:,

je sais que nous pouvons les mettre sous forme canonique et qu'il y à question de DELTA mais, que vous m'avez bien fait comprendre que dans mon exercice ca ne me sert à rien.
Donc je ne voi plus qu'une solution mettre 2x²-20x+100 sous forme canonique avec : f(x)=0 mais je ne trouve pas comment la mettre sous cette forme si cela ce trouverais correcte.

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Sa Majesté
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par Sa Majesté » 14 Sep 2009, 20:11

Effectivement tu peux mettre sous forme canonique
f(x) = a((x-b)²+c)

Toni2
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par Toni2 » 14 Sep 2009, 20:26

Je cherche, je cherche... encore un peu de temps s'il vous plait ! !

Doit-je simplement remplacer les a,b et c dans ce que vous m'avez donner avec ax²+bx+c avec 2x²-20+100 ou alors c'est trop simple dans conclure ainsi ?

Sinon je trouve, 2[(x-5)²+45/2] :/

Toni2
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par Toni2 » 14 Sep 2009, 20:48

Pourriez vous me montrer vraiment comment je dois faire s'il vous plait, je cherche et je ne trouve pas.. :mur:

Merci.

beagle
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par beagle » 14 Sep 2009, 20:56

mais tu y es,
si x=o , M=A,ou si x=10, M=B
alors x-5 est à son maximum et la surface est à son max

tu dois pouvoir trouver la valeur minimale

Toni2
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par Toni2 » 14 Sep 2009, 20:59

Je suis vraiment désolé je ne voit vraiment pas, pourriez me donner un équation à résoudre à ce sujet et un petite explication pour que tout cela rentre mieux dans ma tête s'il vous plait ?

beagle
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par beagle » 14 Sep 2009, 21:08

je me suis trompé, c'était le carré de (x-5) qui était à son max.

Tu cherches un minimum, donc abaisse ce que tu peux baisser,
45/2 ne bougera pas, donc fais bouger et fait dégonfler la partie que tu peux dégonfler au max.

beagle
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par beagle » 14 Sep 2009, 21:15

le 45 dans ta formule me semble faux,
mais cela ne gène pas pour le minimum, enfin pour x, (parce que le résultat de la surface sera faux).

Toni2
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par Toni2 » 14 Sep 2009, 21:16

Donc,
2[(x-5)²+45/2]<0 c'est ca que je doit résoudre ?
pourtant à la calculette pour par exemple x=1,
2[(x-5)²+45/2] n'est pas égale a 2x²-20x+100...

Toni2
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par Toni2 » 14 Sep 2009, 21:20

Ca serait plutôt : 2[(x-5)²+25] =)

Mais avec cela que doit-je faire exactement s'il te plait ?

 

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