Bijection à la dérivée

[Okinawa]

bonjour j'ai un exo mais à un moment je bloque je ne sais pas quoi faire :


démontrer que x^4 + x^3 - x + 1 = 0 n'a aps de solution sur R



j'ai donc calculé la dérivée et je trouve une equation du 3eme degré mais apres ... que dois je faire ??

merci !!

[lapras]

y' = 4x^3 + 3x^2 -1
y'' = 12x^2+6x = 6x(2x+1)
y" = 0 équivaut à :
x = 0 ou x = -0.5

donc y'' positive pour x<=-0.5 et x>=0
donc y' croissante dans ]-OO ; -0.5[U[0;+OO[

or f'(0) =-1
et f'(1) = 6
donc elle s'annule pour x dans [0 ; 1] (du fait qu'elle est croissante sur [0; + OO[ )
On "remarque" qu'elle s'annule pour x = 0.5 (on pourrait diviser l'intervalle en utilisant la méthode par dichotomie, trouverait immédiatement le résultat)
pour x>=0.5, alors f'(x)>=0
donc
f(x) croit pour x>=0.5
f(x) décroit pour x<=0.5
or f(0.5) > 0
et f(0.5) est le minimum de la fonction f(x) = x^4 + x^3 - x + 1

donc il n'y a pas de solutions !
:happy2:

[Okinawa]

merci bcp !
c'est vrai j'avais pensé à faire la dérivée de la dérivée mais je savais pas si ça existait en fait !
je pense que je vais faire cete méthode mais j'ai quand même une petite question.
c'est possible de factoriser pour donner une equation du type (a-1)(ax² + bx + c) et donc en utilisant l'identification ?

merci bcp !!

[Okinawa]

On "remarque" qu'elle s'annule pour x = 0.5

mais en x=0,5 elle ne s'annule pas car f(0,5) = 0,25 ...