Démonstration avec théorème de la bijection

[Baba]

Salut à tous !!


Donc voilà, mon énoncé est:

Démontrer que l'équation (racine de x) = 5 / (x-2) admet une unique solution réelle d.
Encadrer d entre 2 entiers consécutifs.


Alors moi dans un premier temps, je pense qu'il faut que je pose:
f(x)= 5 / ((racine de x) (x-2) = 0

Après, grâce au théorème de la bijection je concluerais que il existe un réel alpha tel que f(alpha) = 0


Mais le seul truc, c'est que pour conclure grâce à ce théorème, il faut que j'arrive à prouver que f est continue et strictement monotone.

Pour prouver que c'est continu, il faut que je dise qu'un produit de fonction usuelles est toujours continu.
Mais pour prouver qu'elle est strictement monotone, je fais comment ??


Voilà, j'aimerais d'abord que quelqu'un veuille bien confirmer mon raisonnement pour être sûr que je ne me trompe pas !!!
Puis si quelqu'un pouvait m'éclairer pour que j'arrive à prouver que f est strictement monotone, ca m'aiderait énormément.


Edit: Ah oui, j'ai réfléchi à la manière de faire l'encadrement, et j'ai pas d'idée pour le moment .....



Merci d'avance pour vos réponses !!

[Zebulon]

Bonsoir,
plusieurs remarques :

1. Oui, il faut introduire une fonction comme vous l'avez fait, mais il faut toujours préciser son ensemble de définition et celui d'arrivée (sinon, comment voulez-vous parler de bijection?)

2. Le théorème de la bijection est plus fort : outre l'existence d'une solution de l'équation f(x)=0, il garantit l'unicité (et on vous la demande).

3. Plutôt que de dire que le produit de fonctions usuelles est une fonction continue, je dirais que le produit de fonctions continues est continu. Parce que tout dépend de ce qu'on entend par fonctions usuelles.

4. Enfin, pour déterminer un encadrement de par deux entiers consecutifs, on cherche à l'aide de la calculatrice quel entier n vérifie f(n)0 si f est croissante (ou f(n)>0 et f(n+1)<0 si f est décroissante).

[Baba]

Mais pour prouver qu'elle est strictement monotone, je fais comment ??

Merci pour ta réponse, mais tu n'as pas répondu à la question qui en fait est celle où j'attends le plus une réponse. lol

Mais merci quand même !

[Zebulon]

Oups! Je n'avais pas tout lu la dernière fois mais n'est pas équivalent à !!!

[Baba]

ah c'est pas plutôt égal à [5(-racine de x)(x-2)] / (x-2) ??????

[Zebulon]

ah c'est pas plutôt égal à [5(-racine de x)(x-2)] / (x-2) ??????

:hein: Qu'est-ce qui est égal à ? Je ne comprends pas ce que vous voulez dire.

[Baba]

Mon expression de départ.

Par contre j'ai mal écrit ce que je pensais.
Je pensais que c'était égal à ca:

[5-(racine de x)(x-2)] / (x-2)

[Zebulon]

Je pensais que c'était égal à ca:

[5-(racine de x)(x-2)] / (x-2)

Mais qu'est-ce qui est égal à ça?!!? Ca, c'est un nombre, alors que est une égalité.

[Baba]

Mais qu'est-ce qui est égal à ça?!!? Ca, c'est un nombre, alors que est une égalité.

Je voulais dire que en manipulant l'expression de départ, on arrivait à

[5-(racine de x)(x-2)] / (x-2) = 0 (j'avais oublié le =0 .... oups !)

[Zebulon]

Merci pour le 0, ça me donnait mal à la tête de voir qu'une égalité pouvait être égale à un nombre...
Je ne vois pas pourquoi vous mettez un x-2 au dénominateur.

[Baba]

Ben si je prends l'expression de départ ,
et que je retranche de chaque côté, j'obtiens ca
Après il faut que je mette ca au même dénominateur pour pouvoir soustraire.

[Zebulon]

OK. Mais si vous multipliez tout ça par x-2 (à condition que ), qu'obtient-on?

[Baba]

A oui ok.

Ca doit faire ca. Non ??

[Zebulon]

Non. Faites attention au x-2.

[Baba]

C'est ca que j'ai marqué sur ma feuille.


Décidément je sais même pas recopier ce que j'écris.

[Zebulon]

OK. Maintenant on reprend l'idée de la fonction. Quelle est la bonne fonction à introduire? Attention! Il faut préciser les intervalles de définition et d'arrivée.

[Baba]

Ben il faut que je pose f(x)= 0

Non ?


Par contre, les intervalles de définition ....
J'ai pas vraiment d'idée

[Zebulon]

Ben il faut que je pose f(x)= 0

Poser , oui, mais ensuite on veut résoudre f(x)=0, on ne pose pas f(x)=0. On peut définir cette fonction sur , mais attention! si on trouve que 2 est solution de f, ça ne veut pas dire que 2 est solution de .

[Baba]

Oui je sais parce qu'il faut que x soit différent de 2.

Par contre là, à force, je sais plus ce qu'il faut que je fasse ........ :marteau:

[Zebulon]

On veut étudier les solutions de l'équation f(x)=0. Ca sent bon!!! Ca sent bon le théorème des valeurs intermédiaires, vous ne trouvez pas?