Bijection non monotone

[essaiedapprendre]

Bonjour a tous,

Quelqu'un pourrai m'expliquer, de façon simplifiée, comment une bijection peut ne pas être monotone

Et me donner un exemple d'une bijection non monotone

Car d'après ce que j'ai compris, dans une bijection tout réel y de l'ensemble d'arrivée a exactement un antécédent x ce qui rend la fonction monotone. Mais apparemment je me trompe

Merci pour vos réponse

[Ben314]

Salut,
Au Lycée, on voit (plus ou moins) le théorème suivant :
Si f est continue et strictement monotone sur un intervalle I alors elle réalise une bijection de I sur J=f(I) qui est aussi un intervalle.

En fait, on peut aussi démontrer que :
Si f est continue et bijective d'un intervalle I sur f(I) alors f est strictement monotone sur I et f(I) est un intervalle.
(mais je sais pas si ça se fait au niveau Lycée vu qu'on y voit plus grand chose)

Ce qui signifie que, pour des fonctions continues définies sur un intervalle I, on a équivalence entre "être bijective" et "être strictement monotone".

Par contre, si la fonction f n'est pas continue, ou bien si l'ensemble de définition n'est pas un intervalle, alors cette équivalence ne tient plus.
Je te laisse chercher (si tu trouve pas, on te donnera des exemples)
1) Une fonction bijective de [0,1] dans [0,1] (par exemple) qui n'est ni continue, ni monotone sur [0,1] (penser à la définir "par cas" : si x est comme ci alors f(x)=??? et si x est comme ça alors f(x)=...)
2) Une fonction continue bijective de R* dans R* (R* n'est pas un intervalle) qui n'est pas monotone sur R* (la première qui me vient à l'esprit est extrêmement classique et connue, y compris au niveau Lycée...)


Sinon, concernant ça :

...dans une bijection tout réel y de l'ensemble d'arrivée a exactement un antécédent x ce qui rend la fonction monotone.

je vois pas vraiment le rapport.
A mon avis, pour en arriver à cette conclusion là, c'est que tu fait une énorme erreur de logique :
Si on prend deux éléments distincts x et x' de l'ensemble de départ, alors, vu que f est bijective, on ne peut pas avoir f(x)=f(x') donc on a forcément f(x)<f(x') ou bien f(x)>f(x').
Sauf que ça ne prouve absolument pas que f est strictement monotone vu que, pour qu'elle le soit, il faudrait que, quelque soient les x et x' de l'ensemble de départ, on ait systématiquement f(x)<f(x') ou alors on ait systématiquement f(x)>f(x') alors qu'il est parfaitement possible que, pour certains x et x' on ait f(x)<f(x') et que, pour les autres, on ait f(x)>f(x').
C'est en fait un problème "d'interversion de quantificateurs", sauf que, comme tant d'autres choses, on ne voit plus ce que sont les quantificateurs au Lycée...

[essaiedapprendre]

Une fonction classique de R* dans R*, vu au lycée est la fonction inverse.

Est ce de cette fonction là que tu parles ???

Parce que cette fonction est, d'après ce que j'ai compris, bijective et monotone

[Ben314]

Oui, c'est bien de la fonction inverse f:R*->R*;x->1/x dont je parle.
Oui, elle est effectivement bijective de R* sur R* (et sa bijection réciproque, c'est elle même).
Par contre, non, elle n'est pas du tout monotone sur R* :
- Elle n'est pas croissante car 1<2 et f(1)>f(2) donc la phrase "pour tout x,x' de R*, si x<x' alors f(x)<f(x')" est fausse.
- Elle n'est pas décroissante car -1<1 et f(-1)<f(1) donc la phrase "pour tout x,x' de R*, si x<x' alors f(x)>f(x')" est tout aussi fausse.

Par contre, elle est effectivement décroissante sur l'intervalle ]-oo,0[ et elle est aussi décroissante sur l'intervalle ]0,+oo[.
Et évidement, c'est extrêmement important de comprendre la "nuance" qu'il y a entre le fait d'être décroissante sur R* et le fait d'être décroissante sur ]-oo,0[ ainsi que sur ]0,+oo[ vu que, lorsque tu fait des calculs et que tu as un truc du style A < B où A et B sont deux expression, pour pouvoir en déduire que 1/A > 1/B il faut obligatoirement avoir montré que A et B sont de même signe c'est à dire qu'ils sont tout les deux dans ]-oo,0[ ou alors tout les deux dans ]0,+oo[.
Et cette grosse erreur (de ne pas vérifier que les deux quantités sont de même signe) est effectivement une erreur archi classique de Lycéen qui correspond au fond à faire comme si la fonction x->1/x était décroissante sur R*, ce qui est faux.

[essaiedapprendre]

D'accord je viens de comprendre la nuance.

Effectivement, elle n'est ni croissante sur R* ni décroissante sur R*

C'est tout à fait ce que je ne comprenais pas. Mais maintenant c'est compris.

Merci beaucoup pour ton aide