Arithmétique par récurence

[bobosss]

Bonjour alros j'ai un exo et j'aimerai savoir si c'est possible de le résoudre par récurence.
Je vous donne l'énoncé : prouvez que 81n² - 1 est divisible par 4 lorsque n est impair et seulement dans ce cas.
Je pense que c'est possible mais comme je vient de voir le principe en cours je sait aps trop comment l'utilsier ici.
Voilà merci de m'aider.

[leon1789]

lorsque n est pair, que peux-tu dire de 81n² -1 ?

[le_fabien]

Peut être pas le récurrence mais si tu poses n=2k ou n=2k+1 et avec 81n²-1=(9n-1)(9n+1)

[bobosss]

Il est impair. Et inversement si n est impair.

[bobosss]

LEFAB 11 oé j'ai déjà fait ce que tu ma dit mais après je bloque.

[bobosss]

Bon alors d'après vous cet exo est pas réalisable par récurence?

[le_fabien]

Si n=2k+1 alors 9n-1=18k+8 et 9n+1=18k+10 donc (9n-1)(9n+1)=4(9k+4)(9k+5)
à toi de terminer.

[bobosss]

en disant 81n² -1 = (9n+1)(9n-1) je trovue juste que 9n+1 et 9n-1 sont pair et je vois aps à quo ica m'avance en fait.

[bobosss]

Ok merci à toi.

[le_fabien]

Tu vois, il fallait juste écrire ses résultats. :we:

[bobosss]

Merci c'est vrai que j'avais noté n = 2q+1 mais j'avais oublié de le remplacer.
En tt cas merci.

[leon1789]

Peut être pas le récurrence mais si tu poses n=2k ou n=2k+1 et avec 81n²-1=(9n-1)(9n+1)

oui, si n est impair, alors (9n-1) et (9n+1) sont pairs et un des deux est divisible par 4 !

parmi deux nombres pairs consécutifs, un et un seul est divisible par 4.

[bobosss]

je connaisais pas cette propriété mais elle parait logique en y pensant.
Ca se prouve facilement?

[bobosss]

excuse moi je vien de voir comment le démontrez.

[le_fabien]

oui, si n est impair, alors (9n-1) et (9n+1) sont pairs et le produit est divisible par 4 !

Ce n'est pas ça ?

[leon1789]

parmi deux nombres pairs consécutifs, un et un seul est divisible par 4.

je connaisais pas cette propriété mais elle parait logique en y pensant.
Ca se prouve facilement?

Je trouve qu'elle est assez évidente : les multiples de quatre vont de 4 en 4 alors que les multiples de deux vont 2 en 2...

[bobosss]

Et ce que c'est rigoureux si je le montre comme ca.
tout couple (a,b) avec n pair
a = 2pk +n
b = 2pk +n+2 on peut dire que a = 2 (pk + n/2) et b = 2( pk + (n+2)/2)
donc ab = 4(ab)

[le_fabien]

Ok vu comme ça je suis d'accord.

[bobosss]

j'ai l'impression que je me sis embrouillé avec les lettres.

[leon1789]

Ce n'est pas ça ?

non, je parle vraiment des nombres eux-mêmes :
si a est impair, alors a-1 et a+1 sont deux entiers pairs consécutifs : un (et un seul) d'entre eux est divisible par 4.

multiples de 2 (en rouge, les multiples de 4) :
0,2,4,6,8,10,12,14