Suite par récurence

[lucas14100]

Bonjour j'ai un exercice ou plutôt une question qui me pose problème.
Soit la suite u définie sur N par u0=3 et pour tout entier n :
Un+1= (4Un-2)/(Un+1)

1) Dresser le tableau de variations de la fonction f définie sur ]-1;+inf[ par f(x)=(4x-2)/(x+1)
Donc ça c'est fait et je trouve que la fonction f est croissante.

2) Démontrer par récurrence que pour tout entier n, Un>2
Question faite aussi.

3) La suite u est-elle monotone ?
Là je bloque complètement j'ai regarder sur internet, mais je ne comprend absolument pas comment faire.
Merci de votre aide.

[mathelot]

bonjour,


d'abord la monotonie d'une fonction n'a de sens que par intervalle

admettons que

que donne cette inégalité si on la compose par f ?

[lucas14100]

bonjour,


d'abord la monotonie d'une fonction n'a de sens que par intervalle

admettons que

que donne cette inégalité si on la compose par f ?

Bonjour ça donne f(x)<x ?

[mathelot]

pas tout à fait. c'est comme si on avait deux antécédents et que l'on compose par une fonction
croissante.

[lucas14100]

deux antécédents ok , mais comment on les notes ? f(x) et f(?) ? du coups ça ferait
f(?)

[zygomatique]

salut

on peut utiliser la monotonie de f .... mais attention "à la variation de f"

mais on peut tout simplement calculer u(n+1) - u(n) et déterminer son signe ....

[lucas14100]

salut

on peut utiliser la monotonie de f .... mais attention "à la variation de f"

mais on peut tout simplement calculer u(n+1) - u(n) et déterminer son signe ....

Bonjour oui, j'ai vu sur internet en faisant avec un+1-un cependant je ne comprend pas pasque il n'y a pas toutes les étapes et ils marquent directement
un+1-un =(-(un)²+3un-2)/(un+1)
J'ai cherché à isoler un mais il y a toujours un+1 donc je ne comprends pas comment arriver à cette étape citée ci dessus

[zygomatique]

Bonjour oui, j'ai vu sur internet en faisant avec un+1-un cependant je ne comprend pas pasque il n'y a pas toutes les étapes et ils marquent directement
un+1-un =(-(un)²+3un-2)/(un+1)
J'ai cherché à isoler un mais il y a toujours un+1 donc je ne comprends pas comment arriver à cette étape citée ci dessus

et tu ne sais pas factoriser ?

[mathelot]

Un+1= (4Un-2)/(Un+1)=f(u_n)

comprend tu comment utiliser la monotonie de f ?

f(machin), c'est une image, pas un antécédent.

[lucas14100]

et tu ne sais pas factoriser ?

Si, mais je n'arrive pas à déterminer Un pour effectuer Un+1-Un = ....
(le calcul que j'ai mit en haut c'est un corrigé mais je ne comprend pas comment y arriver)

[lucas14100]

comprend tu comment utiliser la monotonie de f ?

f(machin), c'est une image, pas un antécédent.

Oui je sais que un+1=f(un) et que un+2=f(un+1) etc ... du coups si on admet que f est croissante
f(un)<f(un+1) ?

[lucas14100]

et tu ne sais pas factoriser ?

(2-x)(x-1) mais comment trouver les étapes avant c'est ça que je comprends pas

[mathelot]

(1)

on compose par f



on trouve



l'inégalité (1) récurre.

[lucas14100]

[quote="mathelot"][TEX]u_{n-1} un+1 ça signifie que la suite u est croissante , or sur le corrigé elle est décroissante..

[zygomatique]

(2-x)(x-1) mais comment trouver les étapes avant c'est ça que je comprends pas

quelles étapes ?
ne l'as-tu pas fait au dessus ? (calculer u(n + 1) - u(n)) ?

x = u(n) !!! (notation)

et que sais-tu de x ? voir question 2) donc n'as-tu pas le signe de f(x) - x = u(n + 1) - u(n) ?

[mathelot]

ok mais si un> un+1 ça signifie que la suite u est croissante , or sur le corrigé elle est décroissante..

ça signifie que et que cette inégalité est conservée par récurrence
car f est croissante,ie, un morphisme d'ordre (une fonction croissante conserve l'ordre)

(si c'est trop compliqué, mieux vaut étudier alors le signe )