Topologie

[Anonyme]

bonjour,

j'ai 2 petites questions de topologie :

1) Pourquoi est-ce qu'un sous-espace vectoriel non réduit au vecteur nul
n'est pas borné ?
2) Est-ce que toute courbe de R^2 est un fermé de R^2 ?

Merci d'avance pour votre aide.

[Anonyme]

"hopper" a écrit dans le message de news:
418e127c$0$5724$636a15ce@news.free.fr...
> bonjour,
>
> j'ai 2 petites questions de topologie :
>
> 1) Pourquoi est-ce qu'un sous-espace vectoriel non réduit au vecteur nul
> n'est pas borné ?

Soit x un vecteur non nul de E.
Par homogénéité positive de la norme,
Pour tout lambda dans lK,
|| lambda * x || = |lambda| * ||x||
et ||x|| > 0 (car x non nul).
Donc pour tout M réel positif, il existe un vecteur y tel que
|| y || > M.
(il suffit de prendre y = (M+1)*x / ||x||).

[Anonyme]

Salut

> j'ai 2 petites questions de topologie :
>
> 1) Pourquoi est-ce qu'un sous-espace vectoriel non réduit au vecteur nul
> n'est pas borné ?

Pour pouvoir parler de "borné" il faut avoir une norme (enfin pas vraiment
dans un espace vectoriel topologique).
Donc pour (E,N) espace vectoriel normé, N(lambda*x) = |lambda|*N(x), où x
est un vecteur non nul fixé de ton sous-espace non nul. Tu vois donc bien
que lambda peut être choisi arbitrairement grand, et donc N(lambda*x) aussi,
donc le sous-espace n'est pas borné.


> 2) Est-ce que toute courbe de R^2 est un fermé de R^2 ?
>

Ca dépend ce qu'on appelle une courbe ...

[Anonyme]

merci pour vos réponses !

"Julien Santini" a écrit dans le message de
news:418e191f$0$18510$8fcfb975@news.wanadoo.fr...
> Salut
>[color=green]
> > j'ai 2 petites questions de topologie :
> >
> > 1) Pourquoi est-ce qu'un sous-espace vectoriel non réduit au vecteur nul
> > n'est pas borné ?
>
> Pour pouvoir parler de "borné" il faut avoir une norme (enfin pas vraiment
> dans un espace vectoriel topologique).
> Donc pour (E,N) espace vectoriel normé, N(lambda*x) = |lambda|*N(x), où x
> est un vecteur non nul fixé de ton sous-espace non nul. Tu vois donc bien
> que lambda peut être choisi arbitrairement grand, et donc N(lambda*x)[/color]
aussi,
> donc le sous-espace n'est pas borné.
>
>[color=green]
> > 2) Est-ce que toute courbe de R^2 est un fermé de R^2 ?
> >
>
> Ca dépend ce qu'on appelle une courbe ...
>
>[/color]

[Anonyme]

hopper a écrit :
> 2) Est-ce que toute courbe de R^2 est un fermé de R^2 ?

Si tu vois courbe comme étant l'image de [0;1] par une fonction continue
à valeur dans R^2, alors oui car c'est l'image d'un compact

--
Nico.

[Anonyme]

> > 2) Est-ce que toute courbe de R^2 est un fermé de R^2 ?
>
> Si tu vois courbe comme étant l'image de [0;1] par une fonction continue
> à valeur dans R^2, alors oui car c'est l'image d'un compact

Mais si on les voit comme des sous-variétés (différentiables, analytiques)
de dimension 1, on peut avoir {(0,t), t>0}, qui n'est pas fermé dans R^2.
Au passage, je n'aime pas trop parler de courbe pour l'image continue, sans
plus régularité, d'un intervalle (pensez à Peano).

--
µ

Doucement, n'est pas audible ni heures ni mouettes, docilement le coeur est
coupé