"Wenceslas" a écrit dans le message de news:
20040106132642.10976.00001386@mb-m24.aol.com...
> Bonjour,
>
> Soit A dans Mn(C), on demande de montrer que la suite (A^p) est bornée ssi
>
> Sp(A) inclus dans B'(0,1) et si abs(a)=1, dim(Ea)=o(a), a valeur propre deA)
>
> sens direct d'abord: A est trigonalisable. On est en dim finie, il suffitdonc
> de bien choisir une norme, de preference triple sur Mn(C), qui fasseintervenir
> les elements de la diagonale....
>
> cet exo me rappelle le theoreme de Rietz, est ce que ça a un rapport?Si tu parles de l'équivalence entre compacité de Bf(0,1) et dimension finie,
je ne vois franchement pas le rapport
Pour ton problème : A est semblable à une matrice diagonale par blocs, las
blocs étant de la forme M=xI+N, avec N nilpotente (x est une valeur propre
de A)
Il est clair que (A^n) est bornée ssi pour tous les blocs M, (M^n) est
bornée
D'après la formule du binôme, M^n=x^nI+C(n,1)x^(n-1)N+C(n,2)x^(n-2)N^2+...
(somme finie car N est nilpotente)
- si |x|0, alors M^n est équivalent au dernier terme de la somme :
M^n ~ C(n,k-1)x^(n-k+1)N^(k-1), avec k : indice de nilpotence de N, donc
||M^n|| tend vers +inf
- si |x|=1 et N=0, alors M^n=x^n.I, qui est bornée
Conclusion : M^n est bornée ssi |x|<1 ou (|x|=1 et N=0)
Il reste à dire que N=0 ssi dim Ex=o(x)
CQFD