Topologie: notion de densité
Forum d'archive d'entraide mathématique
-
Anonyme
par Anonyme » 30 Avr 2005, 20:17
Bonjour,
J'ai assez de mal avec cette discipline abstraite qu'est la topologe,
notamment avec la densité.
Si A est densé dans B, peut-on intuitivement voir cela comme A
regroupant des éléments particuliers (éventuellement disjoints) de B ?
Par exemple, Q dense dans |R, les rationnels étant des cas particuliers
des rééls.
Ou l'espace des polynômes est une catégorie de fonctions particulières
sur l'ensemble des fonctions continues.
-
Anonyme
par Anonyme » 30 Avr 2005, 20:18
Oodini wrote:
> Bonjour,
>
> J'ai assez de mal avec cette discipline abstraite qu'est la topologe,
> notamment avec la densité.
La topologie n'est pas si abstraite que ça. C'est juste formaliser la
notion de proche, (et un peu plus aussi).
> Si A est densé dans B, peut-on intuitivement voir cela comme A
> regroupant des éléments particuliers (éventuellement disjoints) de B ?
Dans le cadre des espaces métriques, on dit que A est dense dans B
lorsque tout élément de B est la limite d'une suite (a_n) où les a_n
sont des éléments de A.
> Par exemple, Q dense dans |R, les rationnels étant des cas particuliers
> des rééls.
Oui. L'espace métrique est R, la distance est issue de la valeur
absolue. Tout réel peu être approché par des rationnels. Ici, c'est même
la définition des nombres réels.
> Ou l'espace des polynômes est une catégorie de fonctions particulières
> sur l'ensemble des fonctions continues.
Si l'espace métrique est l'ensemble des fonctions continues sur [0,1].
Alors, grâce au théorème de Heine, il est possible de définir une
distance entre deux éléments par sup( |f(x)-g(x)| ). Pour cette
distance, le théorème de monsieur Weierstraß te dit que les fonctions
polynômes sont denses.
La densité de B dans A signifie juste qu'il est possible d'approcher
tout élément de A par un élément de B:
Quelque soit a un élément de A, quelque soit epsilon strictement
positif, il existe b un élément de A tel que b diffère de a d'au plus
epsilon.
Guillaume Yziquel
Utilisateurs parcourant ce forum : Aucun utilisateur enregistré et 7 invités