[MP] topologie

[Anonyme]

Bonjour,

Soit A et B deux fermés non vides disjoints d'un evn.
Montrer qu'il existe OA et OB ouverts disjoints contenant respectivement A et
B.

J'ai eu comme indication utiliser d(...,A) et d(...,B)

en fait avec un dessin ça semble logique, il reste à l'ecrire.
Je veux coincer A et B dans deux ouverts disjoints. Puisque A et B disjoints,
j'ai d(A,B) différent de 0, Il existe donc des ouverts contenant A et B. Mais
comment rediger?

merci

[Anonyme]

"Wenceslas" a écrit dans le message de
news:20031021141919.00711.00000655@mb-m04.aol.com...
> Bonjour,
>
> Soit A et B deux fermés non vides disjoints d'un evn.
> Montrer qu'il existe OA et OB ouverts disjoints contenant respectivement A
et
> B.
>
> J'ai eu comme indication utiliser d(...,A) et d(...,B)
>
> en fait avec un dessin ça semble logique, il reste à l'ecrire.
> Je veux coincer A et B dans deux ouverts disjoints. Puisque A et B
disjoints,
> j'ai d(A,B) différent de 0, Il existe donc des ouverts contenant A et B.
Mais
> comment rediger?
>
>

Par exemple, OA = { x / d(x,A) < d/3 } et OB = {x /d(x,B) < d/3 } sont
des ouverts contenant resp. A et B et sont disjoints ou d = inf( d(x,y) /
(x,y) \in AxB }

[Anonyme]

Salut
[color=green]
> > Bonjour,
> >
> > Soit A et B deux fermés non vides disjoints d'un evn.
> > Montrer qu'il existe OA et OB ouverts disjoints contenant respectivement[/color]
A
> et[color=green]
> > B.[/color]

[snip]

> Par exemple, OA = { x / d(x,A) des ouverts contenant resp. A et B et sont disjoints ou d = inf( d(x,y) /
> (x,y) \in AxB }
>

Oui seulement après avoir montré que d 0 )))

[Anonyme]

Wenceslas a écrit :
> j'ai d(A,B) différent de 0, Il existe donc des ouverts contenant A et B. Mais
> comment rediger?

En voulant te répondre, j'ai voulu montrer que d(A,B) était différent de
0 justement... mais j'ai un peu tourné en rond (j'ai pas cherché trop
longtemps non plus, vu que LGS a répondu rapidement) puis j'ai
finalement vu que tu le prenais comme vrai donc aurais tu un argument
rapide pour le dire dans un evn quelconque, avec deux fermés tout aussi
quelconques? (en particulier sans supposer la compacité, qui me semble
simplifier la tâche)

--
Nico, en charte, et dans le sujet.

[Anonyme]

Nicolas Richard a écrit :
> En voulant te répondre, j'ai voulu montrer que d(A,B) était différent de
> 0 justement...

(après avoir lu ta réponse à LGS)

Bon donc je propose alors de dire qu'il est faux que d(A,B) 0

Dans R^2, on prend A = { (x,y) t.q. y >= 1/x et x > 0} et B le
symétrique: A = { (x,y) t.q. y >= -1/x et x < 0}

Je replanche... (ça a pourtant l'air facile, je suis sûr que dans 10
minutes je dirai "ah ben forcéme..." et tu auras eu 50 réponses).

--
Nico.

[Anonyme]

> Je replanche... (ça a pourtant l'air facile, je suis sûr que dans 10
> minutes je dirai "ah ben forcéme..." et tu auras eu 50 réponses).
>

Plancher sur quoi? Tu as déjà trouvé un contre-exemple non ?

[Anonyme]

Julien Santini a écrit :
> Plancher sur quoi? Tu as déjà trouvé un contre-exemple non ?

Sur le théorème du début, puisqu'il reste vrai pour cet exemple en
prenant les demis plans x > 0 et x < 0

Par contre j'ai un doute sur l'indication qui a été donnée.

--
Nico.

[Anonyme]

Pour tout x de A, la distance de x à B est strictement positive, donc la
boule ouverte de centre x est de rayon d(x,B)/2 n'intersecte pas A. On
prend ensuite la réunion de toutes ces boules ; ça fait un ouvert autour
de A.

On fait pareil pour B et en ajustant le 2 (le nombre par lequel on
divise), les ouverts obtenus sont disjoints.

[Anonyme]

>Julien Santini a écrit :[color=green]
>> Plancher sur quoi? Tu as déjà trouvé un contre-exemple non ?
>
>Sur le théorème du début, puisqu'il reste vrai pour cet exemple en
>prenant les demis plans x > 0 et x
>Par contre j'ai un doute sur l'indication qui a été donnée.
>[/color]

c'est vrai que je me suis gourré; d(A,B)0 n'est pas vrai.

il faudrait prendre un vecteur a de A et b de B pour manipuler les distances.
Je vais reessayer

[Anonyme]

> Pour tout x de A, la distance de x à B est strictement positive, donc la
> boule ouverte de centre x est de rayon d(x,B)/2 n'intersecte pas A. On
> prend ensuite la réunion de toutes ces boules ; ça fait un ouvert autour
> de A.
>
> On fait pareil pour B et en ajustant le 2 (le nombre par lequel on
> divise), les ouverts obtenus sont disjoints.

C'était précisément ma première réponse; puis au moment de l'envoyer...

S
P
O
I
L
E
R

S
P
A
C
E

[...] je me suis dit, en mon for intérieur: "Mais comment être sûr que l'on
peut ajuster le 2"?
En fait un exo classique est de montrer que dans un Hausdorff, deux compacts
disjoints sont séparés par des ouverts disjoints.
Dans un métrique, et pour deux fermés disjoints (et en supposant que la
propriété soit toujours vraie), il faut donc nécessairement utiliser le fait
que tout point admet une base de voisinages dénombrable.

[Anonyme]

Le 21.10 2003, Wenceslas [navilys2001@aol.com] a écrit
news:20031021141919.00711.00000655@mb-m04.aol.com dans
fr.education.entraide.maths:

> Soit A et B deux fermés non vides disjoints d'un evn.
> Montrer qu'il existe OA et OB ouverts disjoints contenant
> respectivement A et B.

OA={x/d(x,A)-d(x,B)<0}
OA est la preimage de IR*- par 1 appl continue (car lip) et IR*- ouvert.
donc OA ouvert. et OA contient A
me trompe-je ?

[Anonyme]

> OA={x/d(x,A)-d(x,B) OA est la preimage de IR*- par 1 appl continue (car lip) et IR*- ouvert.
> donc OA ouvert. et OA contient A
> me trompe-je ?
>[/color]

Non c'est ok, mais après tu définis OB comment?

[Anonyme]

"Julien Santini" , dans le message (fr.education.entraide.maths:49623),
a écrit :
> [...] je me suis dit, en mon for intérieur: "Mais comment être sûr que
> l'on peut ajuster le 2"?

Je dois dire une grosse connerie, mais allons-y joyeusement.

Je remplace 2 par 3. Je prends x dans l'ouvert autour de A et y dans
celui autour de B. Je prends x' dans A tel que d(x,x') < d(x',B)/3. Et
je prends y' dans B tel que d(y,y') < d(y',A)/3.

J'ai donc :
d(x,x') < d(x',y')/3
d(y,y') < d(x',y')/3
ce qui me semble impliquer que x' et y' sont différents.

[Anonyme]

> > OA={x/d(x,A)-d(x,B) > OA est la preimage de IR*- par 1 appl continue (car lip) et IR*- ouvert.
> > donc OA ouvert. et OA contient A
> > me trompe-je ?
> >[/color]
>
> Non c'est ok, mais après tu définis OB comment?
>
>[/color]

Je retire... ça marche impec

[Anonyme]

"Julien Santini" , dans le message (fr.education.entraide.maths:49623),
a écrit :
> Dans un métrique, et pour deux fermés disjoints (et en supposant que la
> propriété soit toujours vraie), il faut donc nécessairement utiliser le
> fait que tout point admet une base de voisinages dénombrable.

Oui, certes. Enfin, on peut aussi le fait qu'il y a une distance, non ?
Enfin, je veux dire que l'on peut « utiliser » ça de façon non explicite.

[Anonyme]

"Xavier Caruso" a écrit dans le
> Oui, certes. Enfin, on peut aussi le fait qu'il y a une distance, non ?
> Enfin, je veux dire que l'on peut « utiliser » ça de façon non explicite.

J'écris beaucoup de conneries en ce moment !!! oui of course...

[Anonyme]

Là j'ai du mal à comprendre (littéralement, donc a fortiori
mathématiquement).

> Je remplace 2 par 3. Je prends x dans l'ouvert autour de A

Dans l'ouvert que tu as construit comme réunion de boules (je pense que
c'est ça) ou dans le complémentaire de A?

et y dans
> celui autour de B.

Même question, mais tu n'as pas construit celui autour de B... tu as juste
précisé qu' on le construit de la même façon que A en "modulant" le facteur
2; ce à quoi j'ai répondu que je ne suis pas convaincu qu'on puisse
construire l'ouvert autour de B de cette façon. Comment construis-tu B
précisément?

--
J.S

[Anonyme]

Comment construis-tu B
> précisément?
>

Lire "l'ouvert autour de B"... zzzzz

[Anonyme]

"Julien Santini" a écrit dans le message de
news:bn408n$gq4$1@news-reader5.wanadoo.fr...
> Salut
>[color=green][color=darkred]
> > > Bonjour,
> > >
> > > Soit A et B deux fermés non vides disjoints d'un evn.
> > > Montrer qu'il existe OA et OB ouverts disjoints contenant[/color][/color]
respectivement
> A[color=green]
> > et[color=darkred]
> > > B.[/color]
>
> [snip]
>
> > Par exemple, OA = { x / d(x,A) > des ouverts contenant resp. A et B et sont disjoints ou d = inf( d(x,y)[/color]
/[color=green]
> > (x,y) \in AxB }
> >
>
> Oui seulement après avoir montré que d 0 )))
>[/color]

Mince !! je m'étais dit que ça se démontrait facilement....

[Anonyme]

Wenceslas wrote:
> Soit A et B deux fermés non vides disjoints d'un evn.
> Montrer qu'il existe OA et OB ouverts disjoints contenant respectivement A et B.


Plus je vois vos réponses, plus je me demande comment mettre une courbe
(par exemple y=1/x,x>0) et son asymptote (y=0) dans deux ouverts
disjoints de R^2 ? ??

Je ne vois vraiment pas.