Séries (se débrouiller sans Stirling ?)

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Anonyme

Séries (se débrouiller sans Stirling ?)

par Anonyme » 30 Avr 2005, 18:46

comment trouver la nature de la série de terme général
u(n) = [ (n*1/e)^n * n^(1/2) ]/ [ n!]
sans utiliser Stirling ????

merci



Anonyme

Re: Séries (se débrouiller sans Stirling ?)

par Anonyme » 30 Avr 2005, 18:46

Ragnartichaud wrote:

> comment trouver la nature de la série de terme général
> u(n) = [ (n*1/e)^n * n^(1/2) ]/ [ n!]
> sans utiliser Stirling ????


Je ne comprend pas ta question..
Stirling, quand il a démontré sa formule a bien du montrer cette convergence
autrement que par "stirling" qui n'existait alors pas....


de mémoire, je crois que ct avec des logs, mais là je suis plus sûr...


Romain

Anonyme

Re: Séries (se débrouiller sans Stirling ?)

par Anonyme » 30 Avr 2005, 18:46

"Ragnartichaud" wrote

>comment trouver la nature de la série de terme général
>u(n) = [ (n*1/e)^n * n^(1/2) ]/ [ n!]
>sans utiliser Stirling ????


c difficile...

sans le Stirling, on n'aura que somme de 1 à n ln k = n ln n - n +
theta ln n, 0 < theta < 1. ce qui donne

u(n) = exp ln u(n)
= exp (n ln n - n ln e + 1/2 ln n - somme de 1 à n log k)
= exp (n ln n - n + 1/2 ln n - n ln n + n + theta log n)
= exp ((theta+1/2) log n)
= n^(theta+1/2), 0 < theta < 1,

donc n^(1/2) < u(n) < n^(3/2). bof.

Anonyme

Re: Séries (se débrouiller sans Stirling ?)

par Anonyme » 30 Avr 2005, 18:46

Lukas Reck wrote:

> "Ragnartichaud" wrote
>[color=green]
>>comment trouver la nature de la série de terme général
>>u(n) = [ (n*1/e)^n * n^(1/2) ]/ [ n!]
>>sans utiliser Stirling ????

>
> c difficile...
>
> sans le Stirling, on n'aura que somme de 1 à n ln k = n ln n - n +
> theta ln n, 0 < theta < 1. ce qui donne[/color]

S_n = (n+1/2)*ln(n) - n - ln(n!), on a:

S_n - S_(n-1) = - (n - 1/2)ln(1 -1/n) - 1.

On conclue par un DL à l'ordre 3, mais là je copie pâlement stirling....
sans en parler!

D'où je ne comprend pas la question encore une fois...

R

Anonyme

Re: Séries (se débrouiller sans Stirling ?)

par Anonyme » 30 Avr 2005, 18:46

Romain Beauxis wrote

>Lukas Reck wrote:
>[color=green]
>> "Ragnartichaud" wrote
>>[color=darkred]
>>>comment trouver la nature de la série de terme général
>>>u(n) = [ (n*1/e)^n * n^(1/2) ]/ [ n!]
>>>sans utiliser Stirling ????

>>
>> c difficile...
>>
>> sans le Stirling, on n'aura que somme de 1 à n ln k = n ln n - n +
>> theta ln n, 0
>S_n = (n+1/2)*ln(n) - n - ln(n!), on a:
>
>S_n - S_(n-1) = - (n - 1/2)ln(1 -1/n) - 1.
>
>On conclue par un DL à l'ordre 3, mais là je copie pâlement stirling....
>sans en parler![/color]

Au moins le mi-Stirling... t'as raison. concluons que l'énoncé est
idiot =).

Anonyme

Re: Séries (se débrouiller sans Stirling ?)

par Anonyme » 30 Avr 2005, 18:46

C juste que la de'rnière fois que j'ai utilisé Stirling, mon prof a dit que
ct sortir le bazooka pour tuer la mouche, donc j'aimerai bien savoir s'il y
a moyen de pazs l'utiliser ici.

Anonyme

Re: Séries (se débrouiller sans Stirling ?)

par Anonyme » 30 Avr 2005, 18:46

On Tue, 17 Feb 2004 02:04:34 +0100, Romain Beauxis wrote:
>Lukas Reck wrote:
>[color=green]
>> "Ragnartichaud" wrote
>>[color=darkred]
>>>comment trouver la nature de la série de terme général
>>>u(n) = [ (n*1/e)^n * n^(1/2) ]/ [ n!]
>>>sans utiliser Stirling ????

>>
>> c difficile...
>>
>> sans le Stirling, on n'aura que somme de 1 à n ln k = n ln n - n +
>> theta ln n, 0
>S_n = (n+1/2)*ln(n) - n - ln(n!), on a:
>
>S_n - S_(n-1) = - (n - 1/2)ln(1 -1/n) - 1.
>
>On conclue par un DL à l'ordre 3, mais là je copie pâlement stirling....
>sans en parler![/color]

Effectivement ! Mais le but de l'exercice en question semble
justement de montrer la formule de Stirling, donc utiliser
la formule en question pour résoudre l'exo, c'est un peu...
discutable.

Anonyme

Re: Séries (se débrouiller sans Stirling ?)

par Anonyme » 30 Avr 2005, 18:46

"Ragnartichaud" wrote in message
:
> comment trouver la nature de la série de terme général
> u(n) = [ (n*1/e)^n * n^(1/2) ]/ [ n!]
> sans utiliser Stirling ????


On peut calculer v(n) = u(n+1) / u(n), simplifier et montrer qu'on a
v(n) = 1 + O(1/n^2).

De là, on en déduit (exercice) que le produit des v(n) converge,
d'où le résultat.

Comme ça, on obtient facilement la nature, mais pas la limite.

--
Yann

Anonyme

Re: Séries (se débrouiller sans Stirling ?)

par Anonyme » 30 Avr 2005, 18:46

"Ragnartichaud" a écrit dans le message de
news:4031446b$0$28126$626a14ce@news.free.fr...
> comment trouver la nature de la série de terme général
> u(n) = [ (n*1/e)^n * n^(1/2) ]/ [ n!]
> sans utiliser Stirling ????
>
> merci


Il me semble qu'on peut déduire quelque chose de :
u(n+1)/u(n)

A.J.

 

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