Demontrer sans calculette

[Anonyme]

Bonsoir

Je suis toujours sur le meme exercice de spé et on me demande à une
question de "montrer sans utiliser la machine que 2^32 est congru à -1
modulo (5^4+2^4)

Comment faire?

[Anonyme]

"sloug2002" a écrit dans le message de news:
cmlqtl$4pn$1@aphrodite.grec.isp.9tel.net...
> Bonsoir
>
> Je suis toujours sur le meme exercice de spé et on me demande à une
> question de "montrer sans utiliser la machine que 2^32 est congru à -1
> modulo (5^4+2^4)

5^4 + 2^4 = 641 = 5 * 128 +1 = 5 * 2^7 +1

== : congru à

5* 2^7 == -1 (641)
(5 * 2^7)^4 = 5^4 * 2^28 == (-1)^4 = 1 (641)

mais 5^4 == - 2^4 (641)

d'où
- 2^4 * 2^28 == 1 (641) et finalement
2^32 == -1 (641)

Donc le nombre de Fermat 2^(2^5) +1 n'est pas premier puisqu'il est
divisible par 641. Exemple célèbre dû à Euler.

Daniel

[Anonyme]

>
> Je suis toujours sur le meme exercice de spé et on me demande à une
> question de "montrer sans utiliser la machine que 2^32 est congru à -1
> modulo (5^4+2^4)
>
> Comment faire?

C'est une question étrange (il est assez rare qu'on aborde de front une
congruence par rapport à une somme).

Est-ce que par hasard il n'y aurait pas 15 questions devant conduisant à
établir quelquechose comme

2^qqch+1=qqchdautre*(2^4+5^4)

Est-ce au contraire une question directe ?

[Anonyme]

"sloug2002"

> Je suis toujours sur le meme exercice de spé et on me demande à une
> question de "montrer sans utiliser la machine que 2^32 est congru à -1
> modulo (5^4+2^4)
>
> Comment faire?

Première solution 2^32 + 1 = 4294967297
En divisant (à la main) par 5^4 + 2^4 = 641, on trouve 6700417.
C'est faisable en moins de deux minutes à la main.

Sinon, dans l'esprit de l'exercice, on a (les égalités sont à lire comme
des congruences modulo 5^4 + 2^4)) :

5*2^7 = 5*128 = 640 = -1
(5*2^7)^4 = (-1)^4 = 1
Donc 5^4 * 2^28 = 1
Mais comme 5^4 +2^4 = 0, on a 5^4 = -2^4 d'où -2^32 = 1 et 2^32 = -1
cqfd.

Cordialement
Stéphane

[Anonyme]

sloug2002 wrote:
> Bonsoir
>
> Je suis toujours sur le meme exercice de spé et on me demande à une
> question de "montrer sans utiliser la machine que 2^32 est congru à -1
> modulo (5^4+2^4)
>
> Comment faire?

Un prof nous avait pose la meme question (pour prouver avec les moyens
de l'epoque de Fermat que le 5eme nombre de Fermat n'etait pas premier).
J'ai alors divise 4294967297(*) par 641 en montrant le calcul classique
d'une division a la main. J'ai ajoute sur la copie que 641 n'est jamais
que le 100eme nombre premier et que ca m'etonnerait que Fermat n'ait pas
fait le calcul tout bete. Ou alors, il avait un gros poil dans la main
pour un gars de l'epoque. En tout cas ca lui aurait pris moins de 14
pages .

Remarquer que 641=5*2^7+1 pour faire semblant de prouver sans calculs
"lourds" que F_5 n'est pas premier, ca fait vraiment pas naturel.

Bizarrement, je n'ai pas eu le point pour la question.

(*) ce nombre est obtenu en cinq elevations au carre en partant de 2.
Seules les deux dernieres ne se font pas de tete (256*256 et 65536*65536).

--
Saïd.

[Anonyme]

On Mon, 08 Nov 2004 16:00:03 +0100, =?ISO-8859-1?Q?Sa=EFd?=
wrote:


>
> Remarquer que 641=5*2^7+1 pour faire semblant de prouver sans calculs
>"lourds" que F_5 n'est pas premier, ca fait vraiment pas naturel.
>

surtout qu'on peut montrer que tout nb 1er divisant F_m
est forcément de la forme 2^(m+1)*k+1 , k entier non nul
donc pour F_5
ils doivent être de la forme 2^6*k+1
donc ca limite encore plus les essais (641 correspond à k=10)

*****************
http://perso.wanadoo.fr/alain.pichereau/
( olympiades mathématiques 1ère S )
*****************

[Anonyme]

"Saïd" a écrit
>
> (*) ce nombre est obtenu en cinq elevations au carre en partant de 2.
> Seules les deux dernieres ne se font pas de tete (256*256 et
> 65536*65536).

On peut d'ailleurs diviser 65536 par 641, reste 154 et diviser 154*154 =
23716 par 641 reste 640, c'est légèrement plus rapide à mon avis.

Cordialement
Stéphane

[elishac00]

Désolé de poster sur un sujet ancien, mais je ne pouvais m'empêcher de réagir à deux choses qui m'ont choquées, alors que je parcourais internet :
1/

J'ai ajoute sur la copie que 641 n'est jamais
que le 100eme nombre premier et que ca m'etonnerait que Fermat n'ait pas
fait le calcul tout bete.

Désolé, mais le 100eme nombre premier est 541 et non 641. Après un petit calcul, on s'aperçoit que 641 est le 116eme nombre premier (ce qui est beaucoup moins intéressant, le chiffre n'etant pas "rond").
2/ Pourquoi utiliser le pseudonyme Marc Pichereau si la page perso wanadoo est Alain Pichereau (voir la signature) ?