[MP] séries numériques - sommation de relations de comparais

[Anonyme]

Bonjour,

J'ai un petit problème à vous soumettre :

(Un) est une suite décroissante convergente vers a.

On a un équivalent de Un - a : Hn ~ L^(2^n)/K
( pour le concept mm de l'exercice, je suppose que L doit etre 0 ; K>0 )

Afin de déterminer cet équivalent, nous avons montré que H(n+1) ~ K*Hn^2 et
il était suggéré d'utiliser la suite Ln(Hn)/(2^n) puis une sommation de
relation de comparaison.

Ensuite, je dois déterminer le terme suivant du da de Hn. pour cela, nous
avons montré que : H(n+1) ~ K*Hn^2 + M*Hn^3 (M est différent de 0)

je ne vois pas trop quelle suite auxiliaire utiliser cette fois ci... il me
semble que Vn = Ln(Hn)/(2^n) ne serait pas très utile ici.

Si qqn a déjà eu à faire à un exercice de ce genre, ca serait sympa de
m'aiguiller parceke la je bloque vraiment.

Merci d'avance

[Anonyme]

"tomtom" a écrit dans le message de news:
418665c9$0$31252$8fcfb975@news.wanadoo.fr...
> Bonjour,
>
> J'ai un petit problème à vous soumettre :
>
> (Un) est une suite décroissante convergente vers a.
>
> On a un équivalent de Un - a : Hn ~ L^(2^n)/K
> ( pour le concept mm de l'exercice, je suppose que L doit etre rigoureusement, on sait juste que L>0 ; K>0 )
>
> Afin de déterminer cet équivalent, nous avons montré que H(n+1) ~ K*Hn^2
et
> il était suggéré d'utiliser la suite Ln(Hn)/(2^n) puis une sommation de
> relation de comparaison.
>
> Ensuite, je dois déterminer le terme suivant du da de Hn. pour cela, nous
> avons montré que : H(n+1) ~ K*Hn^2 + M*Hn^3 (M est différent de 0)
>
> je ne vois pas trop quelle suite auxiliaire utiliser cette fois ci... il
me
> semble que Vn = Ln(Hn)/(2^n) ne serait pas très utile ici.

H(n+1) ~ K*Hn^2 H(n+1) = K*Hn^2 + o(Hn^2)
donc
ln(H(n+1))=ln(K*H(n)^2)+ln(1+o(1))
=ln(K)+2*ln(H(n)) +o(1)

Tu poses v(n)=ln(H(n))/2^n
alors
v(n+1)-v(n)
=ln(H(n+1))/2^(n+1)-ln(H(n)/2^n
=ln(K)/2^(n+1) + 2*ln(H(n))/2^(n+1) + o(1/2^n) -ln(H(n))/2^n
=ln(K)/2^(n+1) +o(1)

Par conséquent, v(n+1)-v(n) est équivalent à une suite géométrique
la série sum(v(n+1)-v(n)) converge (donc la suite v(n) tend vers une limite
T)
Par sommation des restes partielles,
tu obtiens que T-v(n) ~ ln(K)/2^n
ce qui s'écrit T-v(n) = ln(K)/2^n +o(1/2^n)
donc v(n) = T- ln(K)/2^n + o(1/2^n)
donc ln(H(n))= 2^n * T -ln(K) + o(1)
donc H(n)=exp(T*2^n)*exp(-ln(K))*exp(o(1))
puisque exp(o(1))--->1
donc H(n)~exp(T*2^n)*exp(-ln(K)) = {[exp(T)]^(2^n)}/K
Si tu poses L=exp(T), uisque tu sais que H(n)-->0, cela implique que L1/T ce qui est faux et L>1 alors
H(n)-->+oo absurde)

Pour le terme suivant,
tu poses t(n) = ln(H(n))/2^n -T + (lnK)/2^n (=o(1)) donc t(n)-->0
(ln(H(n)) moins les deux premiers termes de son DAS le tout diviser par 2^n
afin d'éviter les divergences trop violente)
alors
t(n+1)-t(n)
= ln(H(n+1))/2^(n+1)) -T + ln(K)/2^(n+1)
-ln(H(n))/2^n +T - ln(K)/2^n
(*) t(n+1)-t(n)=lnH(n+1)/2^(n+1)-ln(H(n))/2^n - ln(K)/2^(n+1)
(car 1/2^(n+1)-1/2^n = -1/2^(n+1))

Puisque
H(n+1) ~ K*Hn^2 + M*Hn^3
H(n+1) = K*Hn^2 + M*Hn^3 + o(Hn^3)
H(n+1)/[K*H(n)^2] = 1 + (M/K)*H(n) + o(H(n))

et tu sais que
H(n)=L^(2^n)/K + o (L^2^n) donc

H(n+1)/[K*H(n)^2]==1+ (M/K)*(L^(2^n)+ o (L^2^n)) + o(L^2^n)
=1+(M/K)*L^2^n + o(L^2^n)

En passant au log, tu as

ln(H(n+1)) - ln(K) -2*ln(H(n)) = (M/K)*L^2^n + o(L^2^n)

En divisant par 2^(n+1), tu as

ln(H(n+1))/2^(n+1) - ln(K)/2^(n+1) -ln(H(n))/2^n = (M/K)*L^2^n/2^n +
o(L^2^n)
en réinjectant dans (*) tu as
t(n+1)-t(n)=(M/K)*L^2^n/2^n

donc la série sum(t(n+1)-t(n)) converge, ce qui implique que t(n) converge
vers un constante S (et l'on a vu auparavant que t(n)-->0)
et par sommation des restes série convergentes
tu obtiens 0-t(n) ~ (M/K)*sum(k=n à +oo, L^2^k/2^k )
Tu utilises ensuite la comparaison série intégrale pour obtenir un
équivalent de cette série
tu te ramène donc à
J(n) = int(t=n à +oo, L^2^t/2^t * dt) = int(t=n à +oo, exp(ln(L)2^t)/2^t)
Tu pose le changement de variable
u=2^t=exp(t*ln(2)) du=ln(2)*2^t dt donc dt= du/(ln(2)*u) ce qui te donne
J(n) = (1/ln(2))* int (u= 2^n à +oo, exp(ln(L)*u)du/u
= (1/ln(2)) * int(u= ln(L)*2^n à +oo, exp(u)du/u
une petite IPP,
J(n) = (1/ln(2)) * exp(ln(L)*2^n)/(ln(L)*2^n) + (1/ln(2)) * int(u= ln(L)*2^n
à +oo, exp(u)du/u^2
puisque exp(u)/u^2 = o(exp(u)/u), les restes d'intégrales convergentes te
donne que
J(n) = (1/ln(2)) * exp(ln(L)*2^n)/(ln(L)*2^n) +((1/ln(2)) *
exp(ln(L)*2^n)/(ln(L)*2^n)
=(1/ln(2)) * (L^2^n)/(ln(L)*2^n) + o((L^2^n)/2^n)

ainsi t(n) = - (1/ln(2)) * (L^2^n)/(ln(L)*2^n) + o((L^2^n)/2^n)
donc en déroulant

ln(H(n))/2^n = T - (lnK)/2^n - (1/ln(2)) * (L^2^n)/(ln(L)*2^n) +
o((L^2^n)/2^n)
donc
ln(H(n)) = T*2^n - (lnK) - (1/ln(2)) * (L^2^n)/(ln(L)) + o((L^2^n))
au fait L=exp(T) donc T=ln(L)

donc
H(n) = L^2^n/ K *exp( - (1/ln(2)) * (L^2^n)/T + o((L^2^n))
= ( L^2^n/ K)(1- (1/ln(2)) * (L^2^n)/T + o((L^2^n)))
(par DL de exp(x))
donc H(n) =L^2^n/ K- (L^2)^2^n/ (K*ln(2)*/T) + o(((L^2)^2^n)
et tu as les termes cherchés


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