Séries (se débrouiller sans Stirling ?)

[Anonyme]

comment trouver la nature de la série de terme général
u(n) = [ (n*1/e)^n * n^(1/2) ]/ [ n!]
sans utiliser Stirling ????

merci

[Anonyme]

Ragnartichaud wrote:

> comment trouver la nature de la série de terme général
> u(n) = [ (n*1/e)^n * n^(1/2) ]/ [ n!]
> sans utiliser Stirling ????

Je ne comprend pas ta question..
Stirling, quand il a démontré sa formule a bien du montrer cette convergence
autrement que par "stirling" qui n'existait alors pas....


de mémoire, je crois que ct avec des logs, mais là je suis plus sûr...


Romain

[Anonyme]

"Ragnartichaud" wrote

>comment trouver la nature de la série de terme général
>u(n) = [ (n*1/e)^n * n^(1/2) ]/ [ n!]
>sans utiliser Stirling ????

c difficile...

sans le Stirling, on n'aura que somme de 1 à n ln k = n ln n - n +
theta ln n, 0 < theta < 1. ce qui donne

u(n) = exp ln u(n)
= exp (n ln n - n ln e + 1/2 ln n - somme de 1 à n log k)
= exp (n ln n - n + 1/2 ln n - n ln n + n + theta log n)
= exp ((theta+1/2) log n)
= n^(theta+1/2), 0 < theta < 1,

donc n^(1/2) < u(n) < n^(3/2). bof.

[Anonyme]

Lukas Reck wrote:

> "Ragnartichaud" wrote
>[color=green]
>>comment trouver la nature de la série de terme général
>>u(n) = [ (n*1/e)^n * n^(1/2) ]/ [ n!]
>>sans utiliser Stirling ????
>
> c difficile...
>
> sans le Stirling, on n'aura que somme de 1 à n ln k = n ln n - n +
> theta ln n, 0 < theta < 1. ce qui donne[/color]

S_n = (n+1/2)*ln(n) - n - ln(n!), on a:

S_n - S_(n-1) = - (n - 1/2)ln(1 -1/n) - 1.

On conclue par un DL à l'ordre 3, mais là je copie pâlement stirling....
sans en parler!

D'où je ne comprend pas la question encore une fois...

R

[Anonyme]

Romain Beauxis wrote

>Lukas Reck wrote:
>[color=green]
>> "Ragnartichaud" wrote
>>[color=darkred]
>>>comment trouver la nature de la série de terme général
>>>u(n) = [ (n*1/e)^n * n^(1/2) ]/ [ n!]
>>>sans utiliser Stirling ????
>>
>> c difficile...
>>
>> sans le Stirling, on n'aura que somme de 1 à n ln k = n ln n - n +
>> theta ln n, 0
>S_n = (n+1/2)*ln(n) - n - ln(n!), on a:
>
>S_n - S_(n-1) = - (n - 1/2)ln(1 -1/n) - 1.
>
>On conclue par un DL à l'ordre 3, mais là je copie pâlement stirling....
>sans en parler![/color]

Au moins le mi-Stirling... t'as raison. concluons que l'énoncé est
idiot =).

[Anonyme]

C juste que la de'rnière fois que j'ai utilisé Stirling, mon prof a dit que
ct sortir le bazooka pour tuer la mouche, donc j'aimerai bien savoir s'il y
a moyen de pazs l'utiliser ici.

[Anonyme]

On Tue, 17 Feb 2004 02:04:34 +0100, Romain Beauxis wrote:
>Lukas Reck wrote:
>[color=green]
>> "Ragnartichaud" wrote
>>[color=darkred]
>>>comment trouver la nature de la série de terme général
>>>u(n) = [ (n*1/e)^n * n^(1/2) ]/ [ n!]
>>>sans utiliser Stirling ????
>>
>> c difficile...
>>
>> sans le Stirling, on n'aura que somme de 1 à n ln k = n ln n - n +
>> theta ln n, 0
>S_n = (n+1/2)*ln(n) - n - ln(n!), on a:
>
>S_n - S_(n-1) = - (n - 1/2)ln(1 -1/n) - 1.
>
>On conclue par un DL à l'ordre 3, mais là je copie pâlement stirling....
>sans en parler![/color]

Effectivement ! Mais le but de l'exercice en question semble
justement de montrer la formule de Stirling, donc utiliser
la formule en question pour résoudre l'exo, c'est un peu...
discutable.

[Anonyme]

"Ragnartichaud" wrote in message
:
> comment trouver la nature de la série de terme général
> u(n) = [ (n*1/e)^n * n^(1/2) ]/ [ n!]
> sans utiliser Stirling ????

On peut calculer v(n) = u(n+1) / u(n), simplifier et montrer qu'on a
v(n) = 1 + O(1/n^2).

De là, on en déduit (exercice) que le produit des v(n) converge,
d'où le résultat.

Comme ça, on obtient facilement la nature, mais pas la limite.

--
Yann

[Anonyme]

"Ragnartichaud" a écrit dans le message de
news:4031446b$0$28126$626a14ce@news.free.fr...
> comment trouver la nature de la série de terme général
> u(n) = [ (n*1/e)^n * n^(1/2) ]/ [ n!]
> sans utiliser Stirling ????
>
> merci

Il me semble qu'on peut déduire quelque chose de :
u(n+1)/u(n)

A.J.