Series de Lambert et fonction de Moebius

[Anonyme]

Source de l'exercice : Louis Comtet, analyse combinatoire (et aussi
Fraysse-Arnaudies algebre 1).

Si (a_n) est une suite, on note

f(T)=somme(a_n T^n, n>=1)
et
g(T) = somme(a_n T^n/(1-T^n), n>=1) = somme(b_n T^n, n>=1)

g est la serie de Lambert de la suite (a_n). Apres avoir montre que

g(t)=somme(a_m f(T^m), m>=1)

ce qui n'est pas trop dur, on -> definit =1)

Il faut alors montrer que

b_n=somme(a_d, d divisant n)

ce que je sais faire, et

a_n=somme(mu(d) b_{n/d}, d divisant n)

et la, je coince. En fait, a_n et mu(n) sont une seule et meme suite, je ne
me trompe pas ? Pourquoi introduire alors une confusion, et comment
demontre cette identite ?

Ca ressemble a un produit de Cauchy, mais impossible de trouver lequel.

\bye

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Nicolas FRANCOIS
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