Convergence des series

[Anonyme]

Bonjour,

On a (an) une suite >0 strictement décroissante et Un(x)=an*x^n*(1-x)

J'ai montré qu'elle converge simplement sur [0,1]

on demande maintenant de mq Somme(Un) CVN ssi Somme(ak/k) CV
et que Somme(Un) CVU ssi an->0

alors si je suppose que Somme(Un) CVN, on a abs(an)1
ak/k=1/k^(a+1) est le terme general d'une serie CV, donc Somme(ak/k) CV, c bon?

pour la reciproque je ne vois pas.

[Anonyme]

> On a (an) une suite >0 strictement décroissante et Un(x)=an*x^n*(1-x)

> on demande maintenant de mq Somme(Un) CVN ssi Somme(ak/k) CV
> et que Somme(Un) CVU ssi an->0
>
> alors si je suppose que Somme(Un) CVN, on a abs(an) serie CV.
Ce n'est pas a priori évident (ou cela m'échappe alors). Tu peux simplement
écrire que la série de terme général sup (Un(x), x\in [0,1]) converge. En
calculant explicitement le sup, tu obtiens facilement la première
équivalence.

--
Jérôme

[Anonyme]

"Ecce santiago" a écrit dans le message de news:
20031122141259.05888.00000817@mb-m13.aol.com...
> Bonjour,
>
> On a (an) une suite >0 strictement décroissante et Un(x)=an*x^n*(1-x)
>
> J'ai montré qu'elle converge simplement sur [0,1]
>
> on demande maintenant de mq Somme(Un) CVN ssi Somme(ak/k) CV
> et que Somme(Un) CVU ssi an->0

1/ Somme(Un) CVU ssi an->0

Implication directe

La suite a(n) est décroissante et positive donc elle converge vers une
limite L
Si L>0 alors a(n)>=L pour tout n ce qui implique que
L*x^(n+1)=L*sum(k=n+1 à +oo, x^k*(1-x)) <=Rn(x) quelque soit 0<=x<1 et
Rn(0)=0
donc 0<L<=sup(Rn(x), x dans [0,1]) donc on n'a pas convergence uniforme.
Contradiction donc L=0

Implication réciproque

Rn(x)=sum(k=n+1 à +oo, a(k)x^k*(1-x)) <= a(n+1)sum(k=n+1 à +oo,
x^k*(1-x))=a(n+1) *x^(n+1)<=a(n+1)
donc sup(Rn(x), x dans [0,1])<=a(n+1) donc on a convergence uniforme

2/ Somme(Un) CVN ssi Somme(ak/k) CV

d/dx(x^n*(1-x)) = nx^(n-1)(1-x)-x^n=x^(n-1)[n(1-x)-x]=x^(n-1)[n-(n+1)x]
donc sup(x^n*(1-x), x dans
[0,1])=[n/(n+1)]^n(1-n/(n+1)]=(1/(n+1))*exp(-n*ln(1+1/n))~1/(e*n)
donc on a convergence normale ssi sum(a(n)*sup(x^n*(1-x), x dans [0,1]))
converge ssi sum a(n)/n converge