Groupe cyclique

[Anonyme]

Bonjour,

On a n=>3, et a impair. J'ai démontré que a^(2^(n-2)) est congru à 1 mod(2^n)

On pose Gn=U(Z/nZ) . qui est de cardinal 2^(n-1), on demande de mq Gn est
cyclique ssi n avec ce qu'on a montré avant il faut utiliser la
contraposée: supposer n=>3 et mq Gn non cyclique.

Pour n=>3 je sais que a^(2^(n-2)) est congru à 1 mod(2^n), mais comment montrer
que c'est pas cyclique? Montrer que ce n'est pas monogene ou que c'est pas
fini?

merci

[Anonyme]

On 19 Dec 2003 19:53:36 GMT, navilys2001@aol.com (Wenceslas) wrote:

>Bonjour,
>
>On a n=>3, et a impair. J'ai démontré que a^(2^(n-2)) est congru à 1 mod(2^n)
>
>On pose Gn=U(Z/nZ) . qui est de cardinal 2^(n-1), on demande de mq Gn est
>cyclique ssi nAlors pour le sens J'obtiens pour n=2 les elements de Gn: { cl(1),cl(2),cl(3) } . Ce sous groupe
>est bien monogene (engendré par cl(1)) et fini. On fait pareil avec n=1.
à mon avis il s'agit plutôt de la multiplication et cl(1) n'engendre
que lui même
>Par contre pour le sens => avec ce qu'on a montré avant il faut utiliser la
>contraposée: supposer n=>3 et mq Gn non cyclique.
>
>Pour n=>3 je sais que a^(2^(n-2)) est congru à 1 mod(2^n), mais comment montrer
>que c'est pas cyclique? Montrer que ce n'est pas monogene ou que c'est pas
>fini?

>merci
>
>
>
>

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Pichereau Alain

adresse mail antispam : ôter antispam, les 3 lettres devant wana et bien sûr le .invalid

http://perso.wanadoo.fr/alain.pichereau/

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[Anonyme]

Bonsoir
[color=green]
> >Pour n=>3 je sais que a^(2^(n-2)) est congru à 1 mod(2^n), mais comment[/color]
montrer[color=green]
> >que c'est pas cyclique?[/color]

Les éléments de U(Z/2^nZ) sont tous impairs (car premiers avec 2^n car
inversibles, n>=3) et ont un ordre inférieur ou égal à 2^(n-2) d'après ton
calcul. Mais 2^(n-2) < 2^(n-1) donc aucun élément n'est d'ordre 2^(n-1), ie
aucun élément n'engendre le groupe, qui n'est pas cyclique.

[Anonyme]

"curiosité"
cet exercice sur le fait que U(Z/2^nZ) est non cyclique pour n>=3
a déjà eu..... son prolongement sur fr.sci.math il y a qq jours
(voir fil sur (Z/pZ)* cyclique):

si p 1er impair, U(Z/p^nZ) (il était en fait noté (Z/p^nZ)*)
est toujours cyclique




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Pichereau Alain

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