Ppcm & groupe

[Anonyme]

bonjour à tous,
J'ai bloqué toute l'aprés midi sur un probléme idiot, et j'arrive pas a m'en
sortir, pourtant je sent que c'est tout béte.

Soit G commutatif, a et b d'ordre p et q, montrez qu'il existe un element
d'ordre ppcm(p, q)
(bon en fait, le pb porte sur une suite fini d'élément et non pas que sur 2,
mais par récurence ca passera tout seul aprés ca)

Je sais que tout les éléments de ont un ordre qui divise le ppcm, mais
ca me sert pas beaucoup, j'ai essayé avec bezout mais rien de bon n'est
sorti.

merci pour votre aide,
Pierre.

[Anonyme]

> Soit G commutatif, a et b d'ordre p et q, montrez qu'il existe un element
> d'ordre ppcm(p, q)
> (bon en fait, le pb porte sur une suite fini d'élément et non pas que sur
> 2, mais par récurence ca passera tout seul aprés ca)
>
> Je sais que tout les éléments de ont un ordre qui divise le ppcm,
> mais ca me sert pas beaucoup, j'ai essayé avec bezout mais rien de bon
> n'est sorti.

Le sous-groupe engendré par a est isomorphe à Z/pZ et celui engendré par b à
Z/qZ. Si a et b sont premiers entre eux, ça se fera bien, comme le lemme
chinois. Sinon, on pose d=pgcd(a,b), et on applique le résultat à a^{d} et
b^{d}, d'ordres respectifs p/d et q/d.

--
Mû

[Anonyme]

[oubli] Biensur a et b d'ordre fini.

Le grouppe H engendré par a et b est fini (car le G est commutatif, et donc
les éléments de H s'écrivent au+bv pour u entre 0 et p et v entre 0 et q).

Donc on a un grouppe abélien d'ordre fini, il existe un élément d'ordre le
ppcm des éléments du grouppe qui est le ppcm de p et q (en effet tout les
éléments on un ordre divisible par le dit ppcm).

Et la, on sort le joli théoréme que je n'avais encore jamais vu.
G abélien fini, il existe un élément d'ordre le ppcm des ordres des éléments
du groupes.

Merci,
Pierre.

[Anonyme]

Trident a écrit :
> bonjour à tous,
> J'ai bloqué toute l'aprés midi sur un probléme idiot, et j'arrive pas a m'en
> sortir, pourtant je sent que c'est tout béte.
>
> Soit G commutatif, a et b d'ordre p et q, montrez qu'il existe un element
> d'ordre ppcm(p, q)

Voici une démo qui me satisfait

1er cas : p et q sont premiers entre eux
o(a)=p et o(b)=q => o(ab)=pq=ppcm(p,q)
En effet, (ab)^(pq)=1 donc o(ab) divise pq
(ab)^o(ab)=1 donc a^(q*o(ab))b^(q*o(ab))=1 donc p divise q*o(ab) donc p
divise o(ab) donc pq divise o(ab)

Cas général : p et q sont quelconques
Il n'est pas très dur de se convaincre qu'on peut trouver deux entiers d
et d' tels que d*d'=pgcd(p,q) et p/d est premier avec q/d' (voir la
décomposition en facteurs premiers de p et q)
Si a est d'ordre p, a^d est d'ordre p/d et de même b^d' est d'ordre q/d'
Donc a^d*b^d' est d'ordre (pq)/(dd')=pq/pgcd(p,q)=ppcm(p,q)

CQFD