Le groupe des matrices triangulaires supérieures inversibles

[Anonyme]

Bonjour,

La démo de cette propriété est simple mais mon bouquin utilise la notation
N^r (N comme nilpotent) pour désigner, disons, l'ensemble des matrices
triangulaires supérieures ne contenant que des 0 sur les r premières
diagonales au-dessus de la diagonale principale (comprise).
Par exemple, N^1 désigne l'ensemble des matrices triangulaires supérieures
strictes.
Cette notation (en exposant) laisse suggérer que pour tout r>1, la
fonction:
f: N^1 -> N^r telle que: f(A) = A^r est surjective.
Est-ce bien le cas? (il se peut que la réponse soit très simple)

--
J.S

[Anonyme]

"Julien Santini" writes:

> Bonjour,
>
> La démo de cette propriété est simple mais mon bouquin utilise la notation
> N^r (N comme nilpotent) pour désigner, disons, l'ensemble des matrices
> triangulaires supérieures ne contenant que des 0 sur les r premières
> diagonales au-dessus de la diagonale principale (comprise).
> Par exemple, N^1 désigne l'ensemble des matrices triangulaires supérieures
> strictes.
> Cette notation (en exposant) laisse suggérer que pour tout r>1, la
> fonction:
> f: N^1 -> N^r telle que: f(A) = A^r est surjective.
> Est-ce bien le cas? (il se peut que la réponse soit très simple)

À vue de nez c'est vrai...
pas d'idée de preuve...

[Anonyme]

Bonjour,

"Julien Santini" wrote in message
:
> La démo de cette propriété est simple mais mon bouquin utilise la notation
> N^r (N comme nilpotent) pour désigner, disons, l'ensemble des matrices
> triangulaires supérieures ne contenant que des 0 sur les r premières
> diagonales au-dessus de la diagonale principale (comprise).
> Par exemple, N^1 désigne l'ensemble des matrices triangulaires supérieures
> strictes.
> Cette notation (en exposant) laisse suggérer que pour tout r>1, la
> fonction:
> f: N^1 -> N^r telle que: f(A) = A^r est surjective.
> Est-ce bien le cas? (il se peut que la réponse soit très simple)

Non : si A est dans N^1, alors A^r est d'ordre de nilpotence au plus
n/r, et il existe dans A^r des matrices d'ordre de nilpotence n-r+1
(la matrice J^r, où J a des 1 juste au dessus de la diagonale),
donc par exemple pour n=6, r=2 c'est perdu.

--
Yann

[Anonyme]

> Non : si A est dans N^1, alors A^r est d'ordre de nilpotence au plus
> n/r, et il existe dans A^r des matrices d'ordre de nilpotence n-r+1
> (la matrice J^r, où J a des 1 juste au dessus de la diagonale),
> donc par exemple pour n=6, r=2 c'est perdu.
>
> --
> Yann

Merci; Robert Israel sur sci.math a donné le même contre-exemple en dim 5.

[Anonyme]

Yann Villessuzanne writes:

> Non : si A est dans N^1, alors A^r est d'ordre de nilpotence au plus
> n/r, et il existe dans A^r des matrices d'ordre de nilpotence n-r+1
> (la matrice J^r, où J a des 1 juste au dessus de la diagonale),
> donc par exemple pour n=6, r=2 c'est perdu.

yessss !
p'tain c'est dingue.