[MP] Groupe special lineaire

[Anonyme]

Bonjour,

Soi A une matrice du groupe spécial linéaire d'ordre 2, (det A = 1)
et distincte de -I et +I
Soit G = { A^n, n entier relatif}.

Trouver une cns sur le trace de A pour que G soit fermé.
(Oral de Centrale)

Si ça aide, dans une question précédente j'ai exprimé A^n comme
combinaison linéaire de A et I et noté que Vect(A,I) était de
dimension 2. Les observations ci-dessous donnant facilement que
G est borné ssi -2 < tr A < 2.
(domaine de valeurs bornant les coefficients a_n et b_n).

En faisant un calcul classique de division euclidienne et en utilisant le
théorème de Cayley-Hamilton.

A^n = a_n.A + b_n.I
où a_n= (x1^n-x2^n) / (x1-x2), b_n = (x1.x2^n-x2.x1^n)/(x1-x2)
si le discriminant du polynôme caractéristique de A est scindé avec
pour racines x1 et x2.

et a_n = n.x0^(n-1), b_n = (1-n).x0^n
si x0 est racine double du polynôme caractéristique


Pour montrer que G est fermé j'ai donc envie de prendre une suite
convergente de G et voir où elle converge selon la valeur de tr A.
Mais je ne vois pas bien comment m'y prendre, faut-il que je prenne des
suites d'éléments dans {a_n, n relatif} et {b_n} ?


Merci de votre aide.
--
Michel [overdose@alussinan.org]

[Anonyme]

bonjour,

Michel wrote:

> Bonjour,
>
> Soi A une matrice du groupe spécial linéaire d'ordre 2, (det A = 1)
> et distincte de -I et +I
> Soit G = { A^n, n entier relatif}.
>
> Trouver une cns sur le trace de A pour que G soit fermé.
> (Oral de Centrale)
>
>.....
>
> En faisant un calcul classique de division euclidienne et en utilisant le
> théorème de Cayley-Hamilton.
>
> A^n = a_n.A + b_n.I
> où a_n= (x1^n-x2^n) / (x1-x2), b_n = (x1.x2^n-x2.x1^n)/(x1-x2)
> si le discriminant du polynôme caractéristique de A est scindé avec
> pour racines x1 et x2.
>
>
inverse plutot l'ecriture et ecrit A^n=x1^n.A1+x2^n.A2
pour bien comprendre la contrainte sur x1 et x2 pour que G soit un fermé
du plan engendre par I et A ou par A1 et A2
sans oublier que x1 et x2 ne sont pas necessairement reels...

>
> Merci de votre aide.

De rien en esperant que tu sauras finir

jean-francois

[Anonyme]

Je ne sais pas si ça aide mais on peut remarquer A est diagonalisable
si et seulement si Tr(A) n'est pas dans [-2,2]
En effet, le polynôme caractéristique de A est X^2 - Tr(A)*X + I_2.

[Anonyme]

On Sat, 04 Jun 2005 22:13:42 +0200, M. wrote:

> Je ne sais pas si ça aide mais on peut remarquer A est diagonalisable
> si et seulement si Tr(A) n'est pas dans [-2,2]
> En effet, le polynôme caractéristique de A est X^2 - Tr(A)*X + I_2.

C'était une idée que d'écrire A^n = PD^nP^-1
où P étaient la matrice de passage pour diagonaliser.

Mais je me disais qu'alors exprimer la norme de A^n serait difficile vu
que les matrices P étaient mal connues, la norme de A^n serait donc
une combinaison linéaire des coefficients de D^n au moyen de ceux de P.

J'ai donc préféré diviser X^n par le polynôme caractéristique et
regarder le reste (qu'on sait déterminer parfaitement).

Le fait qu'on utilise le théorème de Cayley-Hamilton au passage joint
ton idée de diagonaliser, puisqu'en quelque sorte on fait de la
réduction...

À plus tard.
--
Michel [overdose@alussinan.org]

[Anonyme]

On Sat, 04 Jun 2005 21:32:35 +0200, j-f lacarra wrote:

> inverse plutot l'ecriture et ecrit A^n=x1^n.A1+x2^n.A2
> pour bien comprendre la contrainte sur x1 et x2 pour que G soit un fermé
> du plan engendre par I et A ou par A1 et A2
> sans oublier que x1 et x2 ne sont pas necessairement reels...

Je suis d'accord avec ceci.
Je me dirige donc vers la caractérisation séquentielle d'un fermé,
c'est bien ça ?

Toutefois, si je me donne une suite (U_n)_(n naturel) convergente de G, je
ne maîtrise absolument pas l'ordre d'indexation de mes éléments.

Je pourrais écrire (U_n) = (A^phi(n))
ou phi est une fonction de de N dans Z (dont on ne connaît presque rien)

et donc a priori je ne peux pas utiliser directement le résultat sur la
suite (x1^n)_(n naturel) selon que |x1| 1,
où l'ordre lié à la limite est " 1, 2, 3, 4 etc... "

et je ne peux donc pas préjuger du comportement de (x1^phi(n)) par
exemple.


Je ne dois pas bien percevoir ici ce que ça représente
pour G d'être fermé, même si je connais la définition et ses
caractérisations.

Merci.
--
Michel [overdose@alussinan.org]

[Anonyme]

Une idée au passage, je sais pas du tout si elle mene quelque part mais si A
appartient à SL2(R), elle est diagonalisable dans M2(C) et ses valeurs
propres sont de module 1 et conjuguées.
Si il existe p tel que les vap sont des racines p-ieme de l'unité ou de -1
alors A^p =Id ou -Id et G est fini donc fermé, sinon les puissance n-ieme
des valeur propres tournent sur le cercle unité sans jamais revenir au même
point, elle admettent donc au moins un point d'accumulation et si il n'est
pas atteint tu vois que ton ensemble n'est pas fermé.
Pour avoir une condition sur la trace en posant v=cos(t)+i*sin(t) une des
vap ( l'autre étant v_barre) tu as Tr(A)=2cos(t) il faudrait traduire l'idée
qu'il existe p tel que cos(pt)=1 par exemple en disant que arccos(Tr(A)/2)
est dans Pi*Q ...
Je ne sais pas trop si c'est ce qui est attendu ..

[Anonyme]

Bonjour,

On Sun, 05 Jun 2005 14:34:06 +0200, garfield wrote:

> A appartient à SL2(R), [...] ses valeurs propres sont de module 1
> et conjuguées.

Pas toutes, la plupart du temps elles sont réelles (quand |trA| >= 2).

Si |trA| 2, j'ai tracé x1 (en bleu) et x2 (en rouge) en fonction de trA
(voir [[url]http://tinyurl.com/bnuox])[/url], x1 > x2 étant réels.
(on notera les positions des courbes par rapport aux ordonnées 1 et -1
qui font diverger (x1^n) ou (x2^n) ou pas)

> Si il existe p tel que les vap sont des racines p-ieme de l'unité ou de -1
> alors A^p =Id ou -Id et G est fini donc fermé

C'est intéressant.

> sinon les puissance n-ieme des valeur propres tournent sur le cercle unité
> sans jamais revenir au même point, elle admettent donc au moins un point
> d'accumulation et si il n'est pas atteint tu vois que ton ensemble n'est
> pas fermé.

La condition d'atteinte du point d'accumulation a l'air assez difficile a
exprimer.

Merci.
--
Michel [overdose@alussinan.org]

[Anonyme]

> > A appartient à SL2(R), [...] ses valeurs propres sont de module 1[color=green]
> > et conjuguées.
>
> Pas toutes, la plupart du temps elles sont réelles (quand |trA| >= 2).[/color]
tu ne peux pas avoir Tr(A)>2 car comme je t'ai l'ai dit les vap sont de
module 1 donc la somme de 2 vap est majoré en module par 2 ( par ailleurs la
diagonalisation des matrices ortogonales comme je l'ai utlisés était un
résultat de cours de spé jusqu'à l'année derniere donc je maintiens ma
position ) par ailleurs si |Tr(A)|=1 alors A=+I2 ou -I2 ( égalité dans
l'inégalité triangulaire )

[Anonyme]

> La condition d'atteinte du point d'accumulation a l'air assez difficile a
> exprimer.
Je ne crois pas, sans trop m'avancer je pense que si pour tout p exp(it)
n'est pas une racine p-ieme de l'unité alors les exp(int) sont denses sur
le cercle unité il te suffit alors de construire une suite qui converge vers
une racine p-ieme de l'unité et tu es sur que ce point n'est pas attient par
la suite et tu conclues en plus que G n'est pas fermé dans ce cas, maintent
y'a surement plus simple mais j'ai pas mieux pour l'instant tout ca c'est du
qualitatif que je dis en lisant ton problème ...

[Anonyme]

On Sun, 05 Jun 2005 15:39:10 +0200, garfield wrote:

> tu ne peux pas avoir Tr(A)>2 car comme je t'ai l'ai dit les vap sont de
> module 1 donc la somme de 2 vap est majoré en module par 2

Si, par exemple, la matrice suivante :
[[1,2],
[1,3]]
a pour déterminant 1 et trace 4.

> (la diagonalisation des matrices ortogonales comme je l'ai utlisés était un
> résultat de cours de spé jusqu'à l'année derniere

Ce sont les matrices symétriques réelles qui sont orthodiagonalisables,
tu confonds surement.

L'étude du groupe orthogonal d'ordre 2 conduit à réduire ses matrices
sous la forme
[[cos t,sin t],
[sin t,-cos t]]
ou
[[cos t,-sin t],
[sin t,cos t]]
et certainement pas en matrices diagonales dans un cas général.

det A = 1 ne signifie d'ailleurs pas nécessairement que A est orthogonale.

> par ailleurs si |Tr(A)|=1 alors A=+I2 ou -I2 ( égalité dans
> l'inégalité triangulaire )

Je ne comprends pas cette remarque.

--
Michel [overdose@alussinan.org]

[Anonyme]

> Si, par exemple, la matrice suivante :
> [[1,2],
> [1,3]]
> a pour déterminant 1 et trace 4.
Ton énoncé se placait dans SL2(R) à savoir le sous-groupe de On(R) des
matrices de déterminant 1, la matrice que tu propose est de déterminant 1
mais n'est pas dans On(R) !
[color=green]
> > (la diagonalisation des matrices ortogonales comme je l'ai utlisés était[/color]
un[color=green]
> > résultat de cours de spé jusqu'à l'année derniere
>
> Ce sont les matrices symétriques réelles qui sont orthodiagonalisables,
> tu confonds surement.[/color]
Non désolé j'ai vérifié mon cours les matrices orthogonales ( cas
particulier de matrices unitaires ) sont bien diagonalisables dans Mn(C) et
même avec une matrice de passage unitaire si on le souhaite ( attention j'ai
bien mis C et pas R elle ne le sont effectivement pas sur R )

> det A = 1 ne signifie d'ailleurs pas nécessairement que A est orthogonale.
Tout a fait d'accors mais comme je l'ai dis, il me semblais qu'on
travaillais depuis les début dans On(R)[color=green]
> > par ailleurs si |Tr(A)|=1 alors A=+I2 ou -I2 ( égalité dans
> > l'inégalité triangulaire )[/color]
Les 2 vap sont conjuguées et de module 1 notons les a et a_barre, Tr(A) est
la somme des vap donc par inégalité triangulaire |Tr(A)|<= |a|+|a_barre|
donc |Tr(A)|<=2 donc si Tr(A)=2 tu est dans un cas d'égalité de l'inéalité
triangulaire ....

[Anonyme]

> L'étude du groupe orthogonal d'ordre 2 conduit à réduire ses matrices
> sous la forme
> [[cos t,sin t],
> [sin t,-cos t]]
> ou
> [[cos t,-sin t],
> [sin t,cos t]]

Tiens d'ailleurs cette remarque me donne une autre vision du problème, dans
les réduction que tu proposes la premiere est de determinant -1 et l'autre 1
donc si A est dans SL2(R) elle est semblable à une matrice du type de ton
2eme exemple.
Dans la suite je donnerais mes matrices par la liste de leurs lignes.
Maintenant si on considere A={[[a,-b],[b,a]], (a,b) ? R²} A est un corps
isomorphe à C ( c'est classique ) donc A=[[cos t,-sin t],[sin t,cos t]]
représente exp(it) via l'isomorphisme de corps donc A^n représente exp(int)
donc on est bien ramené a ce que j'avais dit précédemment, tu cherches la
condition pour que {exp(ipt),p relatif} soit fermé ...

[Anonyme]

On Sun, 05 Jun 2005 16:36:17 +0200, garfield wrote:

> Ton énoncé se placait dans SL2(R) à savoir le sous-groupe de On(R) des
> matrices de déterminant 1, la matrice que tu propose est de déterminant 1
> mais n'est pas dans On(R) !

On(R) est inclus dans SLn(R).
Je rappelle que SLn(R) = { M dans Mn(R) tq det M = 1}

Tu confonds une fois de plus avec On+(R), groupe des isométries directes.

> Tout a fait d'accors mais comme je l'ai dis, il me semblais qu'on
> travaillais depuis les début dans On(R)

Non.

--
Michel [overdose@alussinan.org]

[Anonyme]

On Sun, 05 Jun 2005 16:43:50 +0200, Michel wrote:

> Tu confonds une fois de plus avec On+(R), groupe des isométries directes.

Aussi noté SOn(R), groupe spécial *orthogonal*, je comprends mieux ta
confusion.

Je ne connaissais pas le résultat de diagonalisation dans C des matrices
unitaires, au temps pour moi.

Merci quand même.
--
Michel [overdose@alussinan.org]

[Anonyme]

"Michel" a écrit dans le message de
news:pan.2005.06.05.14.43.49.487000@alussinan.org...
> On Sun, 05 Jun 2005 16:36:17 +0200, garfield wrote:
>[color=green]
> > Ton énoncé se placait dans SL2(R) à savoir le sous-groupe de On(R) des
> > matrices de déterminant 1, la matrice que tu propose est de déterminant[/color]
1[color=green]
> > mais n'est pas dans On(R) !
>
> On(R) est inclus dans SLn(R).
> Je rappelle que SLn(R) = { M dans Mn(R) tq det M = 1}[/color]

Absolument j'ai fait une horrible confusion entre SL et SO, j'etais persuadé
que tu parlais du groupe spécial orthogonal à force de voir des énoncés de
matrices orthogonales partout on finis par oublier le reste désolé

[Anonyme]

> on finis par oublier le reste désolé
à commencer par l'orthographe en ce qui me concerne , je vais réfléchir
à une autre approche pour ton problème...

[Anonyme]

On Sun, 05 Jun 2005 16:43:50 +0200, Michel wrote:

> On(R) est inclus dans SLn(R).
> Je rappelle que SLn(R) = { M dans Mn(R) tq det M = 1}

Bon j'ai écris trop vite !
L'inclusion est évidemment fausse mais la définition de SL, elle, est
correcte.

Voir :
http://www.bibmath.net/dico/index.php3?action=affiche&quoi=./l/lineairegroupe.html

--
Michel, à qui ça apprendra de poster de vite.
[overdose@alussinan.org]

[Anonyme]

On Sun, 05 Jun 2005 16:43:50 +0200, Michel wrote:

> On(R) est inclus dans SLn(R).
> Je rappelle que SLn(R) = { M dans Mn(R) tq det M = 1}

L'inclusion est évidemment fausse, j'ai posté trop vite ce coup-ci.
La définition est correcte : http://tinyurl.com/agxeg


Pour l'histoire (et pour ne pas trop s'embrouiller), on rajoute spécial
quand on considère le noyau du morphisme de groupe :
det : O_n(R) --> (R,x) (groupe-noyau : SOn)
det : GL_n(R) --> (R,x) (groupe-noyau : SLn)

J'espère que les choses sont plus claires et vont vite se décanter.

--
Michel [overdose@alussinan.org]

[Anonyme]

> C'était une idée que d'écrire A^n = PD^nP^-1
> où P étaient la matrice de passage pour diagonaliser.
>
> Mais je me disais qu'alors exprimer la norme de A^n serait difficile vu
> que les matrices P étaient mal connues, la norme de A^n serait donc
> une combinaison linéaire des coefficients de D^n au moyen de ceux de P.

Je crois qu'on peut s'en sortir en partant de la même idée de fond (
j'espere que je vais pas encore dire des bétises ).

En effet si R est semblable à A A=P^(-1)RP alors ({A^n ,n relatif } est
fermé) est équivalent à ({R^(n), n relatif} est fermé) ( vérification
immédiate on prend des suite convergente et on multiplie par P et P^(-1) là
où il faut ).
On peut donc travailler avec des matrices réduites.
On sait par discussion sur le polynôme caractéristique que les matrices de
M2(R) sont semblables à trois types de matices : soit [[a1,0],[0,a2]] (
discriminant positif strictement ), soit [[a1,1],[0,a1]] (discriminant nul )
soit [[a,-b],[b,a]] (discriminant négatif strictement ) avec a1, a2, a, b
réels ( on peut même imposer b>0 ).

On étudie les cas 1 par 1 pour faciliter les choses on prend comme norme le
sup des valeurs absolues des coefficients.

Dans le 1er cas R=[[a1,0],[0,a2]] donc R^n=[[a1^n,0],[0,a2^n]] avec a1*a2=1
puisque A n'est pas I ou -I on a soit |a1|>1 soit |a2|>1 quitte à les
echanger disons |a1|>1 on a alors ||R^n||=|a1|^n (n>0) et ||R^n||=|a2|^n
(n2
( discrimiant >0)

Si R=[[a1,1],[0,a1]] alors a1=1 ou a1=-1 ( a1^2=1) donc R=[[1,1],[0,1]] ou
[[-1,1],[0,-1]] donc R^n=[[1,n],[0,1]] ou [[(-1)^n,n*(-1)^(n+1)],[0,(-1)^n]]
dans tout les cas on remarque encore que toute suite convergente est
stationnaire donc l'ensemble est aussi fermé si |Tr(A)|=2

Enfin si Tr(A)=2 ou ( |Tr(A)|<2 et arccos(Tr(A)/2)
appartient à Pi*Q )
Bon c'est pas terrible comme cns mais bon ...

[Anonyme]

Bonjour,

Michel wrote:

> On Sat, 04 Jun 2005 21:32:35 +0200, j-f lacarra wrote:
>[color=green]
> > inverse plutot l'ecriture et ecrit A^n=x1^n.A1+x2^n.A2
> > pour bien comprendre la contrainte sur x1 et x2 pour que G soit un fermé
> > du plan engendre par I et A ou par A1 et A2
> > sans oublier que x1 et x2 ne sont pas necessairement reels...
>
> Je suis d'accord avec ceci.
> Je me dirige donc vers la caractérisation séquentielle d'un fermé,
> c'est bien ça ?[/color]

>
> Toutefois, si je me donne une suite (U_n)_(n naturel) convergente de G, je
> ne maîtrise absolument pas l'ordre d'indexation de mes éléments.
>
> Je pourrais écrire (U_n) = (A^phi(n))
> ou phi est une fonction de de N dans Z (dont on ne connaît presque rien)
>

ce n'est meme pas un vrai probleme car pour etre ferme il suffit
d'etudier les points d accumulations et non les points adherents et que
ceux-ci soient dans G; on peut donc supposer phi(n) strictement
croissante mais ce n'est pas vraiment l'enjeu..

dans la base (A1 ,A2 ) un point adherent aura pour coordonnees
(lim x1^phi(n) , lim 1/x1^phi(n))
pour qu'il reste dans G il faut donc effectivement que x1 soit de module
1 c'est a dire du type e^it (donc tr(A)\in [-2,2])
et alors comme dit garfield :
-soit t est rationnel a Pi et alors G est fini cela correspond a
arccos(trace(A)/2)/pi \in Q
- soit t est irrationnel a Pi et alors les x1^n sont denses dans S1 et
tu peux faire converger A^phi(n) vers beaucoup de matrices
e^ir A1+e^-ir A2 qui ne sont pas dans G (qui est denombrable)

il faut aussi completer voir le cas ou la valeur propre est double mais
avec tes calculs c'est assez evident

en esperant que ce sera assez clair

Jean-Francois