Groupe

[Anonyme]

comment montrer que si G est un groupe de cardinal impair, alors :

pour tout x de G, il existe g dans G tel que x = y².

[Anonyme]

> comment montrer que si G est un groupe de cardinal impair, alors :
>
> pour tout x de G, il existe y dans G tel que x = y².


Quel est l'ordre de y, celui de x ?
que sait-t-on sur l'ordre d'un élément...

Désolé, mais je vois pas comment t'en dire moins ;o)

[Anonyme]

oups : Oubliez ce que je viens de dire

[Anonyme]

"bob" a écrit :

> comment montrer que si G est un groupe de cardinal impair, alors :
>
> pour tout x de G, il existe g dans G tel que x = y².

Commence par te ramener au cas où G est cyclique. Il te suffit ensuite
de le prouver pour Z/nZ avec n impair, c'est-à-dire résoudre
l'équation 2y = x.

--
Dimitri

[Anonyme]

bob a pensé très fort :
> comment montrer que si G est un groupe de cardinal impair, alors :
>
> pour tout x de G, il existe g dans G tel que x = y².

Je vais supposer que l'énoncé correct est "il existe *y* tel que x =
y²".

Dans un groupe fini, tout élément est périodique et son ordre divise
l'ordre du groupe. C'est une conséquence immédiate du théorème de
Lagrange.
Soit x dans G.
ord(x) | ord(G),
donc ord(x) est impair car l'ordre de G l'est (raisonner par
l'absurde).

*1er cas : ord(x) = 1,
c'est-à-dire x = e, donc c'est réglé (y = e convient).

*2eme cas : ord(x) = 2p+1 avec p dans lN*.
Alors x^(2p+1) = x^(2p)*x = e,
comme on est dans un groupe, tout élément est inversible ;
donc on a : x = ( x^(2p) )^(-1) = ( x^(-p) )^2.

(Bon en fait il n'est pas indispensable de distinguer les deux cas...)

[Anonyme]

Dimitri Ara a écrit :
> Il te suffit ensuite
> de le prouver pour Z/nZ avec n impair

Pourquoi ?

[Anonyme]

Romain M wrote:
> Dimitri Ara a écrit :
>[color=green]
>> Il te suffit ensuite
>> de le prouver pour Z/nZ avec n impair
>
>
> Pourquoi ?
>
>[/color]

Comme tu le fais dans ton autre message, considérer le sous-groupe
cyclique engendré par x.

[Anonyme]

Hibernatus avait écrit le 05/04/2005 :
> Comme tu le fais dans ton autre message, considérer le sous-groupe cyclique
> engendré par x.

Ah ok, je pensais que Dimitri essayait de dire que G d'ordre n impair
(pas forcément cyclique) est isomorphe à Z/nZ.
Désolé