Trouver x, y

[brhum.moh]

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[nodjim]

Y a déja (x,y)=(5,3). Il n'y en a certainement pas d'autres.

[Imod]

Et (3;1) , il n'y en a pas d'autres .

Imod

[Calvinator2000]

Et la justification dans tout ça ? :hein:
Même si, j'en conviens, l'énoncé va dans votre sens.

[Benjamin]

Et (3;1) , il n'y en a pas d'autres .

Imod

Salut,
Je trouve que la solution de nodjim (x,y)=(5,3) fonctionne aussi.

[Imod]

Il y a un moyen simple mais calculatoire de montrer qu'il n'y a pas d'autre solution .

2043 n'est pas une puissance de 3 modulo 2048 donc x est inférieur ou égal à 10 .

donc x est impair .

Il reste à tester x=1 ; 3 ; 5 ; 7 ; 9 pour finir .

Imod

[Lostounet]

Comment pourrait-on par exemple traduire que si les exposants n et m "s'éloignent trop" alors la distance entre 2^n et 3^m ne peut pas être "confinée"

ie. A partir d'un certain N naturel, |n - m| > N => |2^n - 3^m| > 5. Si on peut trouver cet écart "limite" N, tel que n - m < N par exemple, pour lequel 2^n - 3^m < 5


2^n - 3^m ~ 2^(N - m) - 3^m = 2^N/2^m - 3^m < 5

On pourrait donc avoir une idée d'un encadrement de m et de n avec ça non?

[Ben314]

Je suis pas du tout persuadé qu'on arrive à quoi que ce soit de simple par une telle méthode.

Déjà, ça :

Comment pourrait-on par exemple traduire que si les exposants n et m "s'éloignent trop" alors la distance entre 2^n et 3^m ne peut pas être "confinée"
ie. A partir d'un certain N naturel, |n - m| > N => |2^n - 3^m| > 5. Si on peut trouver cet écart "limite" N, tel que n - m < N par exemple, pour lequel 2^n - 3^m < 5

ça sert franchement à rien vu que, pour que 2^n soit "relativement proche" de 3^m, c'est clairement pas "n proche de m" qu'il faut avoir.

En fait,si tu veut avoir 2^n "proche" de 3^m il faut que n.ln(2) soit "proche" de m.ln(3), c'est à dire que le rationnel n/m soit proche de ln(3)/ln(2) qui est évidement irrationnel, mais quand à savoir s'il s'approxime "bien" par des rationnels (c'est à dire au fond s'il existe des m,n tels que 3^m soit "pas super loin" de 2^n) là, je sais pas si on sait dire grand chose.

Pour te donner un exemple, le "miracle" qui fait que 2^10=1024 soit vachement proche de 10^3=1000 (d'où appellation de kilo-octet), vient du fait que ln(10)/ln(2)=3,321928095 est "très proche" de 10/3=3.33333 l'erreur est de l'ordre de 1/100 avec un fraction dont le dénominateur est uniquement 3 : c'est remarquablement précis (et ça n'a évidement rien à voir avec le fait que |n-m|=|10-3| est inférieur ou supérieur à quelque chose)

[Lostounet]

Je vois... ça me semblait pourtant logique dans ma tête. ça dépend largement des entiers choisis en plus...

Une étude de fonction peut -elle servir ici?
(2^x-3^y)? Ou bien pas trop vu que il y a plein de non entiers x,y qui fonctionnent...