Trois losanges pour un hexagone

[Imod]

Un problème apparemment simple :zen:

On découpe un hexagone régulier en trois losanges identiques .



On pave un hexagone régulier avec ces losanges , le nombre de losange de chaque couleur est-il nécessairement le même ?



Bon courage !

Imod

[Patastronch]

Naivement je dirais que c'est une empilation de cube ton pavage... mais j'arrive pas à me garantir que l'ensemble des pavages possible est en bijection avec une empilation de cube.

[Patastronch]

Bon il faudrait pouvoir dénombrer le nombre de pavages possible (ce qui ne semble pas etre tache facile), ainsi que le nombre d'empilement de cube "tassé dans le coin" possible (ce qui semble plus facile à faire :) ), si ces deux cardinaux sont egaux alors on a une bijection puisque tout empilement de cube distinct correspond a un pavage disctinct.

Je continue de chercher :)

[scelerat]

Naivement je dirais que c'est une empilation de cube ton pavage... mais j'arrive pas à me garantir que l'ensemble des pavages possible est en bijection avec une empilation de cube.

Partons de l'empilation de cubes, et regardons les trajets qui vont du bord gauche au bord droit en "restant au meme niveau". Un tel trajet :
1. ne comporte pas de losange turquoise (on va toujours d'une arete verticale a une arete verticale)
2. comporte autant de losanges jaunes que de mauves, puisque les mauves font descendre et les jaunes monter d'une demi-arete.
3. comporte 2n (n=A/a, rapport des aretes) losanges pour faire la distance, donc n de chaque couleur.
On a n niveaux, donc n^2 losanges mauves et n^2 jaunes, et par consequent n^2 turquoise.

[nodgim]

Je vois la perspective d'une boîte cubique ouverte. Si je la regarde d'en haut, je ne vois que du turquoise, de la droite, que du jaune, de la gauche, que du mauve. La conclusion est alors immédiate :we:

[Patastronch]

Je vois la perspective d'une boîte cubique ouverte. Si je la regarde d'en haut, je ne vois que du turquoise, de la droite, que du jaune, de la gauche, que du mauve. La conclusion est alors immédiate :we:

Tu fais la suposition que tout pavage correspond a un empilement de cube. Malheuresement c'est la ou est la difficulté de la question. Soit tu en trouve un qui ne le soit pas et du coup ca sera assez immédiat que la réponse est non, soit tu montre que tout pavage est un empilement de cube quoiqu'il arrive et la réponse sera alors évidemment oui. Mais tu peux pas conjecturer comme ca qu'on a une empilation de cube quoiqu'il advienne.

[scelerat]

Tu fais la suposition que tout pavage correspond a un empilement de cube. Malheuresement c'est la ou est la difficulté de la question. Soit tu en trouve un qui ne le soit pas et du coup ca sera assez immédiat que la réponse est non, soit tu montre que tout pavage est un empilement de cube quoiqu'il arrive et la réponse sera alors évidemment oui. Mais tu peux pas conjecturer comme ca qu'on a une empilation de cube quoiqu'il advienne.

Qu'est-ce qu'une empilation de cubes ? Le fait qu'on peut forcement aller d'une arete a l'arete opposee sans revenir en arriere en ne traversant que des losanges dont le cote depart et le cote arrivee sont paralleles (et paralleles a l'arete de depart) ?

[scelerat]

Partons de l'empilation de cubes, et regardons les trajets qui vont du bord gauche au bord droit en "restant au meme niveau".

Comme Patastronch pourrait douter de la nature de ces trajets, je precise qu'il y a n points de depart (cotes de losanges sur l'arete verticale gauche), n points d'arrivee, et qu'il est evident que deux trajets ne peuvent se croiser. Donc un trajet de cote vertical a cote vertical arrive forcement au niveau d'ou il est parti.

[ffpower]

Je pense avoir a peu pres trouver,mais je donnerai qu une ebauche de solution,car d une je suis pas encore sur que ce soit totalement clair dans ma tete et de deux,meme si ca l etait,je vois mal comment tout expliqué sans dessin.Alors je regarde les hexagones "elementaires" du cube qui sont union de 3 losanges elementaires.y en a 2 types:
-les hexagones de "type 1" comme dessinés sur la premier figure d imod:bleu en haut,rouge en bas a gauche,jaune en bas a droite
-et les autres,de "type 2":bleu en bas,rouge en haut a droite et jaune en haut a gauche

J applique l algo suivant:je cherche un hexagone de type 2 et je le change en un hexagone de type 1.Cet algo ne change pas la propriété voulue(autant de losanges de chaque couleur
Quand l algo se finira(c surtout ca que j ai pas encore justifié,pk l algo se finit?en tout cas ca semble clair lol) il n y aura donc plus d hexa de type 2,on sera alors dans la situation facile ou on a "le dessin d un cube en perspective"...

[Patastronch]

Je pense qu'on arrive à s'en sortir en déformant l'hexagone de manière à ce que l'un des 3 types de losange ne fasse plus la même surface que les 2 autres(et ne soit pas une combinaison linéaire des deux autres à coefficient rationnel), et en concluant ensuite en faisant des considérations d'aires. Bon je vois que je suis flou, alors tournons sur un exemple (réduit).
Supposons que les cotés de l'hexagone de départ fassent 2 et que les cotés des losanges fassent 1.

Déformons l'hexagone (et son pavage) en rendant droit () les angles nord et sud (et les 4 autres angles à ). Ainsi les losanges bleu sont maintenant des carrés de longueurs 1 et les autres losanges ont leur coté de longueur 1 mais leur petit angle vaut et non comme au départ. Dans ce cas là, la surface d'un carré vaut 1 et la surface d'un losange vaut sin()=.
Si on nomme le nombre de losange deformé en carré et le nombre des autres losanges, on a donc :
s'en déduit facilement en faisant des considérations d'aire sur l'héxagone de départ.
Aire de l'hexagone déformé. (considération d'aire sur l'hexagone déformé)
Or cette surface est égale à .
On en déduit imédiatement que a=4 et b=8.
On répète cette opération cette fois en déformant 2 autres angles de l'hexagone et en déduit immédiatement que le nombre de losange de chaque type est 4.

Cette méthode peut se généraliser pour n'importe quelle taille de l'hexagone.

J'espere que j'ai reussi à etre clair :s

[Imod]

Je réponds un peu tardivement (désolé , d'autres devoirs m'appelaient ) .

En effet , le problème est de savoir si le pavage correspond à un empilement ( c'est plus joli qu'empilation ) de cubes . Comme Patastronch je ne suis pas du tout convaincu par les arguments de scélérat qui présuppose que le pavage est un empilement de cubes : je veux bien mais il faut le prouver ! L'argument de ffpower semble bien plus convainquant . Une remarque le passage d'un type 1 à un type 2 fait monter un losange bleu donc le processus est nécessairement fini . J'attends quand même l'explication du fait que la situation finale correspond à la vue traditionnelle d'un cube en perspective : ce n'est pas évident !

Imod

[Patastronch]

Je réponds un peu tardivement (désolé , d'autres devoirs m'appelaient ) .

En effet , le problème est de savoir si le pavage correspond à un empilement ( c'est plus joli qu'empilation ) de cubes . Comme Patastronch je ne suis pas du tout convaincu par les arguments de scélérat qui présuppose que le pavage est un empilement de cubes : je veux bien mais il faut le prouver !

Ca me rassure, j'ai cru que c'était moi qui voyait une difficulté la ou y'en avait pas !

L'argument de ffpower semble bien plus convainquant . Une remarque le passage d'un type 1 à un type 2 fait descendre un losange bleu donc le processus est nécessairement fini . J'attends quand même l'explication du fait que la situation finale correspond à la vue traditionnelle d'un cube en perspective : ce n'est pas évident !

Imod

Je rajouterai aussi qu'il faut prouver qu'il ne peut y avoir de pavage sans hexagone de type 1 ou 2 (meme si ca parait evident) sinon l'algo tombe à l'eau.

[Patastronch]

En effet , le problème est de savoir si le pavage correspond à un empilement ( c'est plus joli qu'empilation ) de cubes .

En effet apres vérification dans le dico, empilation n'existe pas :we: .

[Imod]

Je rajouterai aussi qu'il faut prouver qu'il ne peut y avoir de pavage sans hexagone de type 1 ou 2(meme si ca parait evident) sinon l'algo tombe à l'eau.

En fait il suffit de montrer qu'après l'algo ( même s'il a fonctionné 0 fois ) la situation est celle du dessin d'un cube en perspective .

Imod

[Patastronch]

En fait il suffit de montrer qu'après l'algo ( même s'il a fonctionné 0 fois ) la situation est celle du dessin d'un cube en perspective .

Imod

Je suis pas d'accord, le cas ou il existerai un pavage sans hexagone de type 1 ou 2 n'est pas traité par l'algorithme (meme s'il tourne 0 fois).

Edit: je retire, si l'algo tourne 0 fois alors il faut prouver qu'on a forcément un cube géant au départ, tu as raison ca reviens au meme.

[Imod]

Patastronch ,

je n'avais pas vu ton message avec les déformations . On retombe sur le même problème que pour les cubes : qui nous garantit que la déformation est possible ( j'avais pensé à la même chose et je n'ai pas trouvé de justification ) ?

Imod

[Patastronch]

Patastronch ,

je n'avais pas vu ton message avec les déformations . On retombe sur le même problème que pour les cubes : qui nous garantit que la déformation est possible ( j'avais pensé à la même chose et je n'ai pas trouvé de justification ) ?

Imod

Je vois pas en quoi la déformation serait impossible puisque je ne déforme que les angles. Vulgairement j'écrase l'héxagone et son pavage quelque soit le pavage (qu'il corresponde ou pas a un empilement de cube). D'ailleurs je ne me sert jamais du fait qu'on a forcément un empilement de cube.

Y a peut etre quelque chose qui m'echappe mais je vois pas la ou ca coince, si tu pouvais préciser :s

[Imod]

Je te relis en détail . Le type de transformation que j'avais envisagé :



Imod

[Patastronch]

Oui c'est exactement cette déformation a laquelle je pensais mais la tu prends ton exemple sur un empilement de cube, mais dans la déformation en quoi ca coincerai si c'était pas un empilement de cube ? D'ailleurs ma démo ne prouve pas qu'un pavage est forcément un empilement de cube.

Sincerement je vois pas ce qui va pas.

Sinon faut que j'apprenne a me servir de ton logiciel, elles sont superbes tes figures a chaque fois, c'est quoi ?

[Imod]

Sinon faut que j'apprenne a me servir de ton logiciel, elles sont superbes tes figures a chaque fois, c'est quoi ?

Le logiciel Déclic je l'ai découvert sur le site "Les jeux mathématiques de Diophante" où il est offert gracieusement . En plus on l'a en main en quelques minutes :we:

Imod