Suite récurrente linéaire d'ordre 3 - Carré parfait

Olympiades mathématiques, énigmes et défis
Zweig
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Enregistré le: 02 Mar 2008, 04:52

Suite récurrente linéaire d'ordre 3 - Carré parfait

par Zweig » 09 Oct 2008, 22:37

Salut,

Un 'tit exo sympa :

Soit une suite définie par récurrence : , et

Montrer que pour tout entier naturel , est un carré.



Doraki
Habitué(e)
Messages: 4987
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par Doraki » 10 Oct 2008, 04:57

Soit une suite vérifiant la relation
Alors la suite vérifie la relation :

Preuve simple : (B + (A+B))² = (A+2B)² = A² + 4AB + 4B² = 2(A+B)² + 2B² - A²

Dans notre cas, on a et donc vérifie bien ce qu'il faut.

Et bien sûr, et sont les racines de X²-X-1.
J'imagine que ça se généralise assez bien pour le produit de plusieurs suites avec des relations de récurrences quelconques, en faisant gaffe aux multiplicités des racines.

Zweig
Membre Complexe
Messages: 2010
Enregistré le: 02 Mar 2008, 04:52

par Zweig » 10 Oct 2008, 19:17

Oui, c'est ça ! Enfin, c'est plus "visible" si on remarque (ce qu'il faut prouver) que (qui "ressemble" à la suite de Fibonacci), car ta suite , aux premiers abords, on ne voit pas trop d'où elle vient. :id:

 

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