Suite récurrente linéaire d'ordre 3 - Carré parfait

[Zweig]

Salut,

Un 'tit exo sympa :

Soit une suite définie par récurrence : , et

Montrer que pour tout entier naturel , est un carré.

[Doraki]

Soit une suite vérifiant la relation
Alors la suite vérifie la relation :

Preuve simple : (B + (A+B))² = (A+2B)² = A² + 4AB + 4B² = 2(A+B)² + 2B² - A²

Dans notre cas, on a et donc vérifie bien ce qu'il faut.

Et bien sûr, où et sont les racines de X²-X-1.
J'imagine que ça se généralise assez bien pour le produit de plusieurs suites avec des relations de récurrences quelconques, en faisant gaffe aux multiplicités des racines.

[Zweig]

Oui, c'est ça ! Enfin, c'est plus "visible" si on remarque (ce qu'il faut prouver) que (qui "ressemble" à la suite de Fibonacci), car ta suite , aux premiers abords, on ne voit pas trop d'où elle vient. :id: