[Défi] Suite récurrente non linéaire

par **Zweig** » 12 Mai 2010, 22:08

Salut,

Un exercice sympa (tiré d'une olympiade) accessible aux classes scientifiques (en ce sens qu'il n'y a besoin d'aucun théorème particulier).

On considère

une suite de réels non nuls vérifiant

et pour tout entier naturel

:

On pose

. Déterminer

.

par **Ericovitchi** » 13 Mai 2010, 13:54

Comme ça converge très vite, j'ai trouvé 2 comme limite de Sn, mais pas encore de démonstration probante.

par **Ben314** » 13 Mai 2010, 14:00

Une seule "indic" : ne pas chercher à calculer Un en fonction de n...

par **Zweig** » 13 Mai 2010, 14:27

Deuxième indication pour les lycéens : On pourra utiliser (voire le démontrer) ce résultat pour déterminer

(qui servira pour déterminer

) : Toute suite d'entiers converge si et seulement si elle est stationnaire.

par **Zweig** » 13 Mai 2010, 14:30

Ericovitchi a écrit:Comme ça converge très vite, j'ai trouvé 2 comme limite de Sn, mais pas encore de démonstration probante.

La limite trouvée est en effet la bonne.

par **benekire2** » 13 Mai 2010, 19:11

Ben314 a écrit:Une seule "indic" : ne pas chercher à calculer Un en fonction de n...

J'ai pas trop cherché en fait, j'ai juste vu l'énoncé ce matin, après je suis partit. Mais a mon avis fallait pas chercher dans ce coin là parce que en général sur les suites non récurrentes c'est chiant. Par contre ( très rapidement) au début j'avais pensé au lemme de césaro avant de me rendre compte que Sn n'a rien a voir avec la config de césaro, et que c'est trop chiant a démontrer en plus .

Pour la démonstration de :

Lemme: Toute suite d'entiers qui converge est stationnaire à partir d'un certain rang.

Preuve: Sans perte de généralité, on peut considérer que la suite u converge vers 0. En effet, on se ramène à ce cas particulier par translation. Comme u converge vers 0 alors pour tout epsilon il existe N tel que n>N => |u(n)|N => |u(n)|N u(n)=0 d'où la suite u est stationnaire à partir du rang N

Voilà .

par **fatal_error** » 13 Mai 2010, 22:07

Salut,

alors pour la suite non récurrente et son terme général...vous vous doutez bien que fallait un ... qui s'y colle =)

alors on a :

soit

On pose v_n = u_n -1 et il vient

soit en passant au ln, les termes étant evidemment positifs :

Pis en faisait une ptite différence ;

soit

ou encore

ici, on reconnait le chou-fleur qui est une fractale de julia, définie par p(z)=z^2+z, et d'apres [url=denisfeldmann.fr/PDF/suites.pdf]la[/url] , on explicite que treees difficilement une bijection pour obtenir une suite conjuguée plus facile a manipuler. Donc ca pue la moooort de ce coté là (comme ben lavait fait remarquer ya un bout de temps lol)

par **Ben314** » 13 Mai 2010, 23:59

Bon, je récrit le début du fait qu'y a pas trop besoit de passer par les log et tout :
Pour

on a

donc, pour

on a

et on en déduit que que,

d'où

(attention, c'est valable uniquement pour

)
Comme

, on a

,

...
qui ne semble pas trop fractal...
(ce qui est fractal avec ce genre de suite, c'est la frontière de l'ensemble des complexes U0 tels que la suite reste bornée, sauf qu'ici c'est pas ça qu'on étudie et, au vue des premiers termes, ça a pas trop guère l'air d'être borné)

P.S. d'ailleurs, j'ai pas trop bien compris l'indice de Zweig : vu la tête de la suite Un, pour montrer qu'elle tend vers +oo, on peut la minorer par à presque n'importe quoi, en particulier par n...

P.S.2 : je le (re)dit : il est totalement inutile d'expliciter la valeur de la suite Un. La seule chose à montrer la concernant, c'est qu'elle tend vers l'infini. Par contre, il faut étudier Sn et à mon avis, la bonne idée est de faire ce qu'à fait Ericovitchi , c'est à dire de commencer par "conjecturer" la limite L ensuite, évidement, il doit venir à l'esprit d'étudier ...

P.S.3. J'aime bien ce genre d'exo qui demande quasiment pas de connaissances mais ou on peut être "sec" trés longtemps temps que...
(en particulier, il m'a fallu un petit moment pour trouver :zen: )

par **benekire2** » 14 Mai 2010, 09:39

on va donc devoir étudier Sn-2 bien sûr ... mais comment faire ? Je vois pas de moyen concluant :triste:

par **Nightmare** » 14 Mai 2010, 13:14

Bene >

Comme l'a montré intelligemment Ben, on a la relation de récurrence

Avec une récurrence tu devrais arriver à montrer, sauf erreur de ma part, que

(par récurrence par exemple)

:happy3:

par **benekire2** » 14 Mai 2010, 13:19

merci nightmare !

Je comprends alors l'autre indice de ben, qui me disait qu'il fallait savoir que u(n) diverge ... :we:

par **benekire2** » 14 Mai 2010, 13:34

Une question nightmare : Comment t'as fait pour intuiter cette formule ? Simple intuition ? Non, je ne pense pas ... merci

par **Ben314** » 14 Mai 2010, 13:41

Maintenant que Nightmare à "vendu la mèche", quelques explications sur les P.S. de mon dernier post :

Ben314 a écrit:..."conjecturer" la limite L ensuite, évidement, il doit venir à l'esprit d'étudier... L-Sn=2-Sn et, si on regarde les 2/3 premiers termes, on constate que 2-Sn=1/(Un-1) que l'on démontre trés façilement par récurrence

Ben314 a écrit: J'aime bien ce genre d'exo qui demande quasiment pas de connaissances mais ou on peut être "sec" trés longtemps temps que... on n'accepte pas de "se salir les mains" à calculer les 2/3 premiers termes

par **Zweig** » 14 Mai 2010, 17:19

P.S. d'ailleurs, j'ai pas trop bien compris l'indice de Zweig : vu la tête de la suite Un, pour montrer qu'elle tend vers +oo, on peut la minorer par à presque n'importe quoi, en particulier par n...

Toutafé Thierry ... Mon premier réflexe a été d'utiliser ce résultat, c'est pour ça que j'ai proposé cette indication ...

par **benekire2** » 14 Mai 2010, 17:45

bon ok, je l'avoue, j'ai réfléchis, mais sans me "salir les mains" qui fait que je n'ai réfléchis qu'a moitié au final :mur:

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