ThSQ a écrit:Je n'ai pas fini tout à fait mais je pense (je suis sûr
) qu'il y a une infinité de solutions (équation de Pell, lien lointain avec Fibonacci). Je pense (mais je suis pas sûr à 100%) que si c'est un carré alors c'est 3² (descente infinie un peu foireuse). Je cherche encore ... :marteau:
foireuse comment ?
L'équation étudiée est X² - (N²-4)Y² = -1 (E1).
Si N est pair alors X² = 3 mod 4, ce qui est impossible.
Donc on peut supposer N impair.
Si N=3 on trouve la famille de solutions déjà donnée.
Si N>3, alors 2n-5 > 1 et n-2 > 1, et alors le développement en fraction continue de
dans un modèle de l'arithmétique non standard où
est impair, dit que c'est impossible.
En effet on peut en tirer une (longue) descente infinie :
On cherche les solutions de (E1) avec x et y entiers > 0
Si x <= (n-1)y, x²-(n²-1)y² <= -2ny²+5y² < -y² donc il n'y a pas de solution.
On écrit alors x = (n-1)y + x', et on obtient une nouvelle équation (E2).
Si y <= x', alors cette équation n'a toujours pas de solution.
On écrit alors y = x' + y', et on obtient une nouvelle équation (E3).
Si x' <= ((n-3)/2)y', alors cette équation n'a toujours pas de solution.
on remplace donc x par ((n-3)/2)y + x,
puis on remplace y par 2x+y,
puis x par ((n-3)/2)y + x,
puis y par x+y,
puis x par 2(n-1)y+x et, miracle (!), (E8) est pareille que (E2).
Et donc aucune de ces équations n'admet de solutions.
