Sous suite

[aviateur]

Bonjour

On considère la suite suivante.



Existe-t-il une sous suite de (u_k) qui converge vers 0?

Ou alors existe-t-il une constante c>0 telle que , ?

Pour info, je conjecture la deuxième éventualité.

[capitaine nuggets]

Salut !

En traçant la courbe représentative de la fonction définie par , il semblerait que l'équation possède une infinité de solutions et que .

Si je ne me suis pas trompé dans mes calculs, je trouve que f est solution de l'équation différentielle . Ca peut peut-être servir...

[aviateur]

Bonjour


On a

Donc par le théorème de Rouché les racines de f sont proches des racines de

quand x est grand. Effectivement f s'annule une infinité de fois.

Par contre je ne pense pas que


Merci pour l'équation différentielle cela peut servir.

Voici le début de mon raisonnement.


Si une sous suite cv vers 0 (que je note par abus mais pour simplifier) alors

nécessairement où et

En réinjectant cela dans
on trouve que

C'est à dire que

C'est à dire qu'une telle approximation de par des rationnels est-elle possible?

Je pense aussi à généraliser la question en remplaçant par n'importe quel irrationnel.

[capitaine nuggets]

Par contre je ne pense pas que

Parce que c'est une faute de frappe, il faut lire : , et même je dis des bêtises : cette conjecture est fausse puisqu'en 0, ça ne marche pas.

[zygomatique]

salut

une idée ...



soit u_1 = ...

soit k > 1 et donc k - 1 > 0

si le premier terme est proche de 0 à e > 0 près par exemple alors ça signifie qu'il existe un réel h > 0 tel que

pour un certain n

donc

peut-on alors minorer sin y(k) par une constante ?

et même raisonnement en permutant y(k) et x(k)

[aviateur]

Rebonjour
@ Zygomatique
attention , si proche de zéro , i.e,
on peut avoir (k-1) sin(x_k) "grand" (comme par exemple proche de 1) et le sin(y_k) proche de -1.
D'ailleurs si tu regardes bien ce que j'ai écrit plus haut, le nombre c'est ton h.
D'ailleurs le nombre j'en connais un équivalent.
C'est pourquoi la réponse à ma question est liée à cette question.
Existe-t-il une infinité d'approximation rationnelle de racine de 2
vérifiant

Des approximation en 1/k^2 je me doute qu'il en a une infinité mais de la forme c/k^2 où la constante c est déterminée c'est moins sûr.

[zygomatique]

oui j'y ai pensé après avoir posté : on peut très bien avoir une somme de deux nombres opposées .. ou presque ...