Réunion de sous-espaces vectoriels

[Nightmare]

Hello,

Pour ceux qui s'initient à l'algèbre linéaire :

Soient k un corps, E un k-ev et p un entier.

1) Montrer que si on peut recouvrir E par p+1 sous-espaces vectoriels stricts alors

2) (plus difficile) Montrer que si card(k)=p alors on peut effectivement recouvrir E par p+1 sev stricts.

[nee-san]

bonjours, je voudrai savoir quel niveau il faut pour résoudre ce problème

[Nightmare]

Hum, en fait c'est une bonne question et j'aurais dû préciser. Déjà, l'exercice amène à considérer des espaces vectoriels sur des corps finis qui n'est pas forcément quelque chose de naturel pour des débutant en algèbre linéaire, mais à partir du moment qu'on a compris la définition d'un espace vectoriel, ça ne pose pas un soucis d'être dans un corps fini (au contraire, c'est même peut être plus simple :lol3: ) et la première question ne nécessite que très peu de connaissances en algèbre linéaire (et en dénombrement ...)

La deuxième question est un peu plus délicate, déjà parce qu'elle nécessite l'axiome du choix et ensuite c'est de la construction à la main de formes linéaires, pas forcément évidente pour un débutant.

Edit : Pour résumer les connaissances de la 1), je dirais qu'il suffit de savoir ce qu'est une droite :happy3:

Edit 2 : quand je parle de l'axiome du choix dans le 2) on peut s'en passer en considérant qu'on est en dimension finie, ça ne rend pas forcément l'exercice plus facile, mais au moins on aura pas à se tirailler pour savoir si notre ev à une base.

[benekire2]

Salut, donc je vais essayer , enfin pour l'instant sur la 1 je griffonne un machin par l'absurde mais je bloque dès le début :hein:

[nee-san]

merci de l'info, trop dure pour moi alors

[Ben314]

Salut
2) x1=a.x2 avec a dans k plus x2=0

[Nightmare]

Salut
2) x1=a.x2 avec a dans k plus x2=0

c'est bien ça :lol3:

[benekire2]

Bon moi je suis sûr la 1 et je bloque, j'ai pour l'instant supposé que k possédait au moins p+1 éléments et j'ai écrit que que E était la réunion des Fk pour k de 1 a p+1 étant des sev stricts. Je trouve pas de contradiction :/ Comment puis-je continuer ?
Merci :lol3:

[Nightmare]

Bon pour le moment, tu n'as fait que réécrire les hypothèses.

L'idée est la suivante : Considère un vecteur x dans un des sev F mais dans aucun autre du recouvrement et un vecteur y qui n'est pas dans le dernier sev. Examiner la droite y+kx.

[benekire2]

Bon pour le moment, tu n'as fait que réécrire les hypothèses.

L'idée est la suivante : Considère un vecteur x dans un des sev F mais dans aucun autre du recouvrement et un vecteur y qui n'est pas dans le dernier sev. Examiner la droite y+kx.

Bah en fait j'ai pensé à a peu près la même chose sous la douche, j'ai parlé un peu vite (et oui j'ai fais que réécrire les hypothèses je sais .. ) et au final comme je suppose qu'il y a au moins p+1 éléments de k cette droite a au moins p+1 éléments distincts de E et donc je dois conclure par le "principe des tirroirs " en disant qu'il y aura forcément deux éléments de cette droite dans un même Fk et que ...

je regarde le 2 (et achève le 1 au moins pour vérifier) demain matin , il se fait tard :zen:

[Nightmare]

Ok, et est-ce que c'est possible pour deux éléments distincts d'être dans un même sev du recouvrement?

Au passage, pour répondre à cette question et pour suivre mon idée de mon post précédent, j'ai émis une petite hypothèse supplémentaire, mais je te laisse constater qu'on peut évidemment se le permettre.

[Ben314]

Pour le 1), j'y était allé nettement plus bourrin que ça : Si card(k)=q et que dim(E)=d alors card(E)=q^d et, pour tout s.e.v. strict F, card(F)=Donc, au maxi, le cardinal de la réunion de p+1 s.e.v. stricts est ... (en utilisant comme seule "astuce" que le vecteur nul est commun à tout les s.e.v.) donc ...

Edit : j'avais pas fait gaffe que l'énoncé est cohérent même dans le cas où E est de dimension infinie sur k, cas dans lequel ma preuve pour le 1)... tombe un peu à l'eau... {mais pas pour le 2) où il suffit de considérer deux formes linéaires}

[Nightmare]

Bon j'allais te répondre à peu près ce que tu as mis dans ton Edit donc je me contente juste de ce message inutile.

Tiens non, pour lui donner un minimum d'intérêt, je fais part d'un corollaire intéressant :

Si k est infini et E un k-ev de dimension finie. Le polynôme minimal d'un endomorphisme f est le polynôme minimal d'un certain vecteur de E.

[Ben314]

Effectivement et le "corollaire", si on sait pas comment il se démontre, c'est pas toujours façile à retrouver.

Sinon, concernant "ma" preuve, j'ai l'impression que, vu qu'on a qu'un nombre fini de s.e.v strict F1, F2,... , on doit pouvoir trouver trouver un s.e.v E' de E de dim finie et tel que les intersection des Fi avec E' soient tous des s.e.v. stricts de E'....

[Nightmare]

Ben > Je ne te suis pas, dans ta preuve, tu supposes E lui même de dimension fini

[Ben314]

Oui et... non :
le rajout :

Sinon, concernant "ma" preuve, j'ai l'impression que, vu qu'on a qu'un nombre fini de s.e.v strict F1, F2,... , on doit pouvoir trouver trouver un s.e.v E' de E de dim finie et tel que les intersection des Fi avec E' soient tous des s.e.v. stricts de E'....

signifiant justement que j'ai l'impression qu'on peut rammener le cas dim(E)=oo au cas dim(E)<oo en considérant (dans le cas dim(E)=oo) un s.e.v. E' de E qui serait de dimension finie et tel que les "traces" des Fi sur ce E' soient bien des s.e.v. stricts de E' (mais j'ai toujours pas vraiment réfléchi pour voir si cette "rustine" fonctionne)

[benekire2]

Nightmare >> Oui la conclusion est facile après comme y n'est pas dans F1 mettons, du coup y+kx appartient à la réunion des autres Fi et donc il y a un de ces Fi qui contient deux éléments de cette droites : y+jx et y+j'x du coup (j-j')x appartient à ce sev donc x appartient à ce sev , mais c'est absurde .

Bien sûr il faut supposer qu'on a un sev qui n'est pas inclus dans la réunion des autres, mais c'est légitime