Polynomes .

par **Purrace** » 22 Nov 2008, 15:50

Bonjour , voici un petit exo :

Soient

deux à deux distincts, soit

.
Montrer que si

alors pour tout

,

est différent de 3.
Et montrer de même que ne peut pas avoir

.

par **ThSQ** » 22 Nov 2008, 16:01

P(X) = 2 + (X-a)(X-b)(X-c)Q(X)

Si P(x) = 3 alors les (x-{abc}) valent +-1, dur-dur

par **Purrace** » 22 Nov 2008, 16:12

Ouia mais c'est pas pour toi ca THSQ c'est exo niveau sup , terminale.

par **ThSQ** » 22 Nov 2008, 16:42

A noter que certains exercices d'olympiades se retrouvent aux oraux (donc c'est encore pour moi

).

par **lapras** » 22 Nov 2008, 19:21

Bonsoir,
soit Q(x) = P(x)-2
Q(x) = G(x)*(x-a)(x-b)(x-c) (racines de Q)
donc
P(x) = 2 + G(x)*(x-a)(x-b)(x-c)
P(x) = 3 <=> G(x)*(x-a)(x-b)(x-c) = 1
Ce qui est clairement impossible.
PS : le niveau du forum "Olympiades" baisse...

par **ThSQ** » 22 Nov 2008, 20:27

lapras a écrit:PS : le niveau du forum "Olympiades" baisse...

Tu n'as qu'à nous torcher l'exo "carré http://www.maths-forum.com/showthread.php?t=75675 alors

par **leon1789** » 22 Nov 2008, 20:41

Soit

tel que

et

.

Soit

le reste de la division euclidienne de

par

:
on a

Ainsi

mais avec

.

Le seul polynôme affine envoyant a sur b et b sur c, est

Comme R est à coefficients entiers, il vient que

divise

.

Conclusion intermédiaire
(EDIT : qu'un raisonnement par l'absurde cachera... :mur: ) :
si

tel que

alors

divise

.

Il ne reste plus qu'à permuter les lettres a,b,c dans cette conclusion...

par **ThSQ** » 22 Nov 2008, 21:09

Pas tout compris à ce que tu écris Léon.

Une autre soluce exactement dans la même veine que le 1er :

P(x) = b + (x-a)Q(X) et consorts.

Donc (c-b)/(b-a) est un entier (c'est Q(b)) et consorts.

Donc (c-b)/(b-a) x (a-c)/(c-b) x (b-a)/(a-c) est un entier qui vaut .... 1.

Conclusion follows (et qu'on sort :marteau: )

par **leon1789** » 22 Nov 2008, 22:42

P(a)=b, P(b)=c => c-b multiple de b-a
P(b)=c, P(c)=a => a-c multiple de c-b
P(c)=a, P(a)=b => b-a multiple de a-c

P(a)=b, P(b)=c, P(c)=a => a=b=c

ThSQ a écrit:Pas tout compris à ce que tu écris Léon.

ben, j'ai le droit de faire compliqué... :cry:

je prends 5 lignes pour dire un truc tout simple que tu dis en 1 ligne :cry:

par **Purrace** » 22 Nov 2008, 23:29

En effet c'est un exo pas très difficile , mais je dirai d'assez bon niveau pour un sup .

par **ThSQ** » 23 Nov 2008, 08:58

Mais intéressant quand même, l'"astuce" du P(X) = P(a) + (X-A)Q(X), triviale en soi, sert bien souvent !

par **leon1789** » 23 Nov 2008, 09:22

ThSQ a écrit:Mais intéressant quand même, l'"astuce" du P(X) = P(a) + (X-A)Q(X), triviale en soi, sert bien souvent !

oui

(mais ce n'est pas une "astuce" triviale: c'est un lemme "fondamental")

par **ThSQ** » 23 Nov 2008, 09:44

C'est la façon de l'écrire qui est l'"astuce" (bien grand mot d'où les "...") pas le résultat, voyons !

par **leon1789** » 23 Nov 2008, 09:47

ThSQ a écrit:C'est la façon de l'écrire qui est l'"astuce" (bien grand mot d'où les "...") pas le résultat, voyons !

ok ok :zen:

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