Fonction continue bornée

Olympiades mathématiques, énigmes et défis
Nightmare
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fonction continue bornée

par Nightmare » 13 Nov 2010, 20:45

Salut à tous !

pour les lycéens, je propose de démontrer l'équivalence suivante, facile mais intriguante :

Soit X un sous-ensemble de R. Montrer que les propositions suivantes sont équivalentes :

i) Toute fonction continue sur X est bornée

ii) Toute fonction continue et bornée sur X atteint ses bornes.

bon courage.

:happy3:



Rebelle_
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par Rebelle_ » 13 Nov 2010, 20:56

B'soir =)

Alors, voyons si j'ai bien compris le problème ^^' En gros l'énoncé est le suivant.
Soit une fonction définie et continue sur , on a bornée sur et atteint ses bornes et .

C'est bien ça ou je me trompe ?

:)

Nightmare
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par Nightmare » 13 Nov 2010, 21:14

Rebelle_ a écrit:B'soir =)

Alors, voyons si j'ai bien compris le problème ^^' En gros l'énoncé est le suivant.
Soit une fonction définie et continue sur , on a bornée sur et atteint ses bornes et .

C'est bien ça ou je me trompe ?

:)


Salut !

Non, justement, bien que ça à un gros rapport avec ce théorème, ce n'est pas ce que je demande de montrer.

Edit : Attention cela dit, il y a des "non-sens" dans le théorème cité. "f([a,b]) atteint ses bornes" n'a pas vraiment de sens. C'est f qui est bornée et atteint ses bornes

Edit 2 : la résolution de l'exercice n'emploie pas ce théorème

Nightmare
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par Nightmare » 13 Nov 2010, 21:19

Je vais formuler autrement, il faut montrer :

(sens direct) Si toutes les fonctions continues sur X sont bornées, alors elles atteignent toutes leurs bornes
(sens indirect) Si toute fonction continue sur X qui est bornée atteint ses bornes, alors toutes les fonctions continues sur X sont en fait bornées.

Anonyme

par Anonyme » 13 Nov 2010, 21:32

C'est avec Bolzano Weirestrass que ça se fait non ?

Pour le sens indirecte : l’hypothèse n'est elle pas équivalente a la conclusion ?

Nightmare
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par Nightmare » 13 Nov 2010, 21:45

Qmath a écrit:C'est avec Bolzano Weirestrass que ça se fait non ?

Pour le sens indirecte : l’hypothèse n'est elle pas équivalente a la conclusion ?


Non, rien d'aussi "compliqué" que Bolzano-Weierstrass, cela dit si tu as une preuve avec, ne t'en prive pas pour la donner.

Pour le sens indirect, pourquoi donc l'hypothèse serait-elle équivalente à la conclusion? Dans l'hypothèse, on a deux données sur f, qu'elle est continue et bornée. Dans la conclusion, on demande de montrer qu'alors l'hypothèse "bornée" est automatiquement vérifiée.

Anonyme

par Anonyme » 13 Nov 2010, 22:22

Je parlais de cette preuve http://bkristof.free.fr/cours/Cours%20-%20Continuite.pdf (fin de page 7)

Nightmare
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par Nightmare » 13 Nov 2010, 22:45

Qmath a écrit:Je parlais de cette preuve http://bkristof.free.fr/cours/Cours%20-%20Continuite.pdf (fin de page 7)


Non, comme Juliette, tu ne traites pas le bon énoncé !! Eh les jeunes, il faut se concentrer un peu :lol3:

Nightmare
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par Nightmare » 13 Nov 2010, 22:50

Comme je l'ai dit, l'exercice est "simple" contrairement à la résolution de l'énoncé auquel vous faites référence.

Nightmare
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par Nightmare » 18 Nov 2010, 16:17

Tiens je l'avais oublié celui là. Personne n'a trouvé?

Benjamin
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par Benjamin » 18 Nov 2010, 18:38

Salut,

je me permet de réécrire l'énoncé différemment, peut-être qu'ils comprendront mieux cette fois (et j'espère moi-même ne pas m'être planté... lol)

Soit l'ensemble des fonctions continues sur X.
Soit
Soit

Par construction, on voit que F c E c C°(X).

Il faut démontrer qu'il y a équivalence entre "E c F" et "C°(X) c E", donc équivalence entre "E = F" et "C°(X) = E"

Autrement dit,
Sens direct : si E=C°(X), alors E=F
Sens indirect : si E=F alors, E=C°(X)

arnaud32
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par arnaud32 » 18 Nov 2010, 20:17

ca a tout de meme avoir avec la "compacite" possible de X, non?

Anonyme

par Anonyme » 18 Nov 2010, 20:48

Pour le i) ==> ii) je connaissais la demo (d'ailleurs je croit qu'elle se trouve dans le pdf cite dans ce post)

pour le ii)==> i) :

Soit f(x) une fonction continue sur X .

Considérons la fonction .

F(x) est continue est bornée donc atteint ses bornes d’après ii)

On a donc
Ce qui donne

|f(x)| étant bornée f(x) est donc bornée.

CQFD

Doraki
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par Doraki » 18 Nov 2010, 21:12

ii) => i)

Soit f une fonction continue, si on prend g(x) = arctan(f(x)), g est continue et bornée donc atteint ses bornes par ii). Donc soit M = Max (|g(x)|) ii)

Soit f une fonction continue bornée et soit M tel que pour tout x, |f(x)| < M.
Alors la fonction g(x) = tan (f(x)*pi/2M) est une fonction continue, donc bornée par un certain N, donc il existe M' = M* 2arctan(N)/pi < M tel que pour tout x, |f(x)| < M'.
A partir de là, on peut en déduire que f atteint ses bornes.

Nightmare
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par Nightmare » 18 Nov 2010, 21:37

Ah ! enfin des amateurs.

Arnaud > Non, pas de compacité dans l'air !

Qmath > Je ne vois pas la preuve de i) => ii) dans le pdf mais il faut dire que je n'ai fait que le survoler

Concernant ii)=>i) what if m ou M est nul?

Doraki > ii) => i) ok j'ai fait pareil, i) => ii) Ok aussi, mieux que ce que j'ai fait (considérer 1/(f-sup f), si sup f n'est pas atteint, cette fonction est continue mais non bornée).

arnaud32
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par arnaud32 » 18 Nov 2010, 22:28

sens direct
On suppose que Toute fonction continue sur X est bornée

l'identite etant continue elles est donc bornee et X est une partie bornee

si x_n est une suite d'elements de X qui converge dans R vers x.
si x n'est pas dans X t -> 1/(t-x) est continue sur R\{x} et donc sur X, elle est donc bornee sur X.
et la suite des 1/(x_n-x) est bornee, ce qui est absurde.
donc x est dans X.
ce qui prouve que X est ferme et borne dans R il est compact et toute fonction continue sur X est bornee et atteint ses bornes.

Reciproque
Supposons que Toute fonction continue et bornée sur X atteint ses bornes.
en regardant t -> 1-exp(-|t|) elle est continue et bornee, elle atteint ses bornes donc X est bornee (sinon la borne sup est 1 et ne peut etre atteinte)
si x_n est une suite d'elements de X qui converge dans R vers x.
t -> exp(-(t-x)²) est continue et bornee, elle atteint donc ses bornes. ce qui implique que x est dans X. (sinon la suite des exp(-(x_n-x)²) va tendre vers 1 qui est le sup de la fonction sans que celui ci soit atteint).
on a la aussi un ferme borne de R donc un compact.
et toute fonction continue est bornee.

Anonyme

par Anonyme » 18 Nov 2010, 22:33

Nightmare a écrit:
Qmath > Je ne vois pas la preuve de i) => ii) dans le pdf mais il faut dire que je n'ai fait que le survoler

Concernant ii)=>i) what if m ou M est nul?



i)==>ii)

J’étudie la fonction ou f est le majorant de f(x).
Supposons que M ne soit pas atteint alors F(x) qui est continue est bornée. Soit M' sa borne superieur.
On a

[TEX]f(x) i) J'ai du mal a voir comment m ou M (surtout ) peuvent etre nuls. Peux- tu donner un exemple ?

EDit: En effet m peut etre nul ...

Nightmare
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par Nightmare » 18 Nov 2010, 22:47

Arnaud > C'est ok, le seul point faible de ta démonstration, est qu'elle se limite au cas où les fermés bornés sont effectivement les compacts. Bon ici c'est bien le cas, mais il s'avère que l'énoncé est vrai quel que soit l'espace topologique X considéré.

Mathusalem
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par Mathusalem » 19 Nov 2010, 02:48

Quelqu'un pourrait-il détailler i -> ii de Doraki ?
C'est la dernière ligne qui me gêne. Pourquoi est-il possible de déduire de sa construction que f atteint ses bornes ?

Doraki
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par Doraki » 19 Nov 2010, 10:31

Si pour tout x, |f(x)| < M alors pour tout x, |f(x)| < M' < M, donc Sup |f| <= M' < M.
Si |f| n'atteint pas son sup, alors on prend M = Sup |f| et on a Sup |f| < Sup |f|

 

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