Exo défi : fonction continue

[benekire2]

Je vois pas trop si c'est dans la continuité de la preuve de nightmare ...
si ça l'est je vois pas trop :triste: sinon, j'ai déjà du mal comme ça ... alors je la verais après si ça t'embête pas trop :marteau:

[benekire2]

Quelqu'un pourrait m'aider à conclure svp ? En fait je vois pas a quoi nous sert réellement notre sous suite constante. ..

[Ben314]

Salut benekire,
Si j'ai bien compris, tu veux montrer le "lemme" de Nightmare :

Si la suite converge vers un irrationnel, alors obligatoirement, numérateur et dénominateur divergent vers +oo

Une preuve (déjà commencée) consiste à raisonner par l'absurde :
Si ne tend pas vers l'infini, par définition, on peut extraire une première sous suite bornée par un certain A.
Comme cette sous suite ne contient que des entiers k entre 1 et A qui sont en nombre finis, l'un de ces entiers apparait une infinité de fois dans la suite donc on peut réextraire une deuxième sous suite constante égale à un certain entier k.
Mais la suite est une suite extraite de donc tend elle aussi vers l'irrationnel x ce qui implique que la suite tend vers kx, ce qui est impossible vu que les sont entiers et que kx ne l'est pas (car x est irrationnel).

P.S. : Je pense que la preuve commencée par Doraki doit être la plus rapide. L'idée est à peu prés la même que la mienne, mais contrairement à moi, il utilise le fait qu'il y ait un 'p' au dénominateur en plus du 'q' ce qui évite de se placer sur un intervalle borné [x-1,x+1] comme je le fait et permet de raisonner sur R tout entier dés le départ.

[benekire2]

Merci beaucoup Ben :zen:

[benekire2]

Et une question annexe, comment montre-on qu'il existe une suite d'irrationnels qui converge vers un rationnel ?

C'est la seule chose qu'il me manque. Merci.

[Ben314]

Et une question annexe, comment montre-on qu'il existe une suite d'irrationnels qui converge vers un rationnel ?

C'est la seule chose qu'il me manque. Merci.

Le plus simple est de montrer que les irrationnels sont dense, c'est à dire que tout intervalle ouvert ]a,b[, aussi petit soit il, contient au moins un irrationnel.
Or, comme les rationnels sont denses, l'intervalle ]a-racine(2),b-racine(2)[ contient au moins un rationnel p/q et il est alors clair que x=p/q+racine(2) est un irrationnel contenu dans ]a,b[.

[benekire2]

D'accord. Et donc ça justifie qu'on puisse considérer une suite d'irrationneerge vers un rationnel ou un irrationnel ( le dernier cas plus simple que le premier en fait ... )

Merci une fois de plus !!

[alavacommejetepousse]

Le plus simple est de montrer que les irrationnels sont dense, c'est à dire que tout intervalle ouvert ]a,b[, aussi petit soit il, contient au moins un irrationnel.
Or, comme les rationnels sont denses, l'intervalle ]a-racine(2),b-racine(2)[ contient au moins un rationnel p/q et il est alors clair que x=p/q+racine(2) est un irrationnel contenu dans ]a,b[.

racine(2) n est pas rationnel? un coup de pouce ben !

[ffpower]

Tu veux la preuve que racine(2) est irrationnel??

[alavacommejetepousse]

seulement si c est ben qui la donne
lui prof

[benekire2]

je comprend pas ? C'est tellement bidon .

[Ben314]

seulement si c est ben qui la donne
lui prof

ALAVACOMMEJETEPOUSSE : au piquet pour flagornerie.

Théorème : Les racines d'un polynôme unitaire à coefficients entiers sont soit entières, soit irrationelles.

Preuve : Soit une racine rationnelle (sous forme irréductible) du polynôme où .
On a donc d'où, en multipliant par , puis ce qui montre que divise puis, comme et sont premiers entre eux que divise 1 (lemme de Gauss) donc et est entier.

Exemple : est racine du polynôme unitaire et à coefficient entiers, mais n'est pas entier (car , et pour ) donc n'est pas rationnel.

[Zweig]

Ou bien,

On appelle la valuation -adique de l'entier (ou du rationnel) , i.e, l'exposant de (premier) apparaissant de la décomposition en facteurs premiers de .

On établit sans trop de difficultés la propriété suivante :



Dans ce cas, si était un rationnel, on aurait



D'où , impossible car la valuation est un entier.