Montrons que l'ensemble des points de continuité d'une fonction est toujours une intersection dénombrable d'ouverts.
Soit
. Pour
, on pose
(où les sup et inf sont pris dans la droite numérique achevée). Alors
est ouvert pour tout
, et l'ensemble des points de continuité de
est l'intersection des
pour
entier
.
Supposons que
soit l'ensemble des points de continuité d'une fonction. D'après ce qui précède,
devrait être une intersection dénombrable d'ouverts, et ces ouverts seraient tous denses puisqu'ils contiennent
. Par ailleurs
est une intersection d'ouverts denses (tous les
pour
). Donc on devrait avoir
intersection dénombrable d'ouverts denses. Monsieur Baire se retourne dans sa tombe !
[C'est en général assez désopilant de regarder le forum Dlz9, par exemple
ici. Le petit clown qui écrit dans ce message devrait apprendre à lire et à ne pas faire des citations fausses.
PS. Notre petit clown persiste. Il est victime d'hallucinations, il voit des "dense" qui n'y sont pas. Il est coutumier du fait, lire de travers est une habitude chez lui.
Ce qui est aussi une habitude chez lui, c'est d'être incapable de comprendre une démonstration, comme celle ci-dessus (d'ailleurs très classique, on peut en retrouver les éléments dans les pages wikipedia)]