Exo défi : fonction continue

[Doraki]

mais certainement.

[Doraki]

PS: Pour l'instant j'ai pas grand chose. Si une suite Un converge vers a=b/c ( un rationnel ) je dois montrer que f(Un) ne converge pas vers 1/(b+c)

Ai-je le droit de prendre une suite d'irrationnels ?

Fais gaffe tu dois montrer qu'il existe une suite Un convergeant vers a mais telle que f(Un) ne converge pas vers f(a) ; alors que là (tel que je te lis) t'es en train de vouloir montrer que toute suite Un qui converge vers a vérifie que f(Un) converge pas vers f(a), ce qui est trivialement faux en regardant la suite constante égale à a .

Pour finir de répondre à ta question, oui il existe des suites d'irrationnels qui convergent vers a, et t'as le droit en vertu de ce que je viens de dire.

[benekire2]

D'accord, je vais faire gaffe a bien écrire les choses :id:

@nightmare

J'ai fais sensiblement le même raisonnement ( modulo la rédac) sur R-Q et j'ai pas pu conclure a cause du lemme.
Sur Q en fais c'est bon, j'ai fais la démo ( a peu près )


Pour ton lemme, je sais pas vraiment si j'ai le droit de dire qu'un nombre irrationnel a une infinité de décimales ?

[Nightmare]

Certains nombres rationnels aussi !

[Doraki]

Si y est > 0, il y a combien de x dans R tels que f(x) > y ?

[benekire2]

Certains nombres rationnels aussi !

Certes. Mais, je vois vraiment pas comment le démontrer ton lemme ...

[Nightmare]

En fait, on se rend compte qu'il s'agit juste de montrer que le dénominateur tend vers +oo (pourquoi?)

Pour cela essaye de raisonner par l'absurde. Pour commencer le raisonnement, quel est la négation de "tendre vers +oo"?

[benekire2]

En fait, on se rend compte qu'il s'agit juste de montrer que le dénominateur tend vers +oo (pourquoi?)

Pour cela essaye de raisonner par l'absurde. Pour commencer le raisonnement, quel est la négation de "tendre vers +oo"?

Ben si le dénominateur tend vers +oo quand on applique f le dénominateur tendra forcément vers +oo ce qui permettra de conclure.

La négation de "tendre vers +oo" est ( d'après moi) "ne pas tendre vers +oo"

[Nightmare]

La négation de "tendre vers +oo" est ( d'après moi) "ne pas tendre vers +oo"

Euh... Evidemment mais ça n'a pas trop d'intérêt !! J'attendais plutôt une traduction mathématique.

[benekire2]

C'est :

[Nightmare]

Ok, mais ici on est avec une suite, pas une fonction :lol3:

Donc à partir de ça, essaye d'aboutir à une contradiction.

[benekire2]

Ca donne bien ça ?

J'avoue que j'ai du mal a tirer des conclusions de cela sur notre suite.

[Nightmare]

C'est bien ça.

Autrement dit, pour un A fixé, aussi loin que l'on se trouve dans les termes de la suite, on pourra toujours en trouver un inférieur à A (cela semble bien être l'inverse de "tendre vers +oo").

L'idée est justement de considérer ces termes qui sont en dessous de A. Autrement dit, on va considérer une sous-suite de (qn) dans laquelle on garde tous les termes inférieur à ce A. Comme on a une suite d'entier, il est clair qu'on va encore pouvoir retirer des termes pour au final avoir une suite... constante !

Essaye maintenant d'aboutir à une contradiction !

[benekire2]

On a une sous suite dont tout les termes sont inférueurs a A. Mais je ne comprend pas quand tu dit qu'on peut encore en enlever ?

[Nightmare]

Eh bien on a une infinité de termes de la suite inférieurs à A, sauf que les termes sont entiers et que le nombre d'entier inférieur à A est fini...

[benekire2]

j'ai vraiment du mal a visualiser en fait ...
Je comprend pas pourquoi on a une infinité de valeurs de la suite inférieurs à A, puisque on vient de dire avant qu'on pouvait toujours en trouver un inférieur à A .

[Nightmare]

Ben je ne sais pas quoi te dire de plus, c'est un peu comme l'histoire des suites d'entiers convergentes stationnaires ! Notre suite est formée d'entiers et est majorée, tous les termes de la suite sont donc dans [0,A] disons, mais il n'y a qu'un nombre fini d'entiers dans cet intervalle, c'est donc que la suite ne prend qu'un nombre fini de valeur. Vu qu'on a une infinité de terme, on peut donc dire que la suite prend une infinité de fois au moins une valeur. En ne gardant que cette valeur à chaque fois, on a donc extrait une sous-suite constante.

[Doraki]

Fais gaffe à pas confondre des valeurs de la suite inférieurs à A, et des dénominateurs ou des numérateurs de valeurs de la suite inférieurs à A.
Ou de suite de dénominateurs ou je ne sais quoi de tordu.

[benekire2]

Ben je ne sais pas quoi te dire de plus, c'est un peu comme l'histoire des suites d'entiers convergentes stationnaires ! Notre suite est formée d'entiers et est majorée, tous les termes de la suite sont donc dans [0,A] disons, mais il n'y a qu'un nombre fini d'entiers dans cet intervalle, c'est donc que la suite ne prend qu'un nombre fini de valeur. Vu qu'on a une infinité de terme, on peut donc dire que la suite prend une infinité de fois au moins une valeur. En ne gardant que cette valeur à chaque fois, on a donc extrait une sous-suite constante.

A voilà , je viens de capter, on a donc une sous suite constante.

@doraki, oui c'est le problème ... et je viens de me rendre compte que j'avais confondu a un moment.

Par contre j'ai du mal pour la fin parce que ça devient de plus en plus dur a visualiser ...

[Doraki]

f : R+ -> R+ est définie par :

f(p/q) = 1/(p+q) si p/q est une fraction irréductible ;
f(x) = 0 si x > 0 est irrationnel.

Si y est strictement positif, que peux-tu montrer que {x / f(x) >= y} est un ensemble fini ?