Exo défi : fonction continue

[Nightmare]

Salut à tous :happy3:

Je propose aux TS/sup l'exercice suivant donné en exercice bonus dans un DS de (bonne) terminale :

On considère la fonction qui prend la valeur en tout rationnel ayant pour représentation irréductible et nulle ailleurs.

Où est-elle continue?

Bon courage

:happy3:

[laquestion]

j'ai envie de dire que le probleme se generalise à toute fonction presque nulle non nulle sur un ensemble dense.

[laquestion]

j'ai envie de dire que le probleme se generalise à toute fonction presque nulle non nulle sur un ensemble dense.

en fait c'est vite dit...

[mathieuH]

[edit] en réponse à 'LaQuestion'
Le résultat dépend de la valeurs de la fonction où elle est non nulle.

Très joli exercice par ailleurs

m.

[Nightmare]

Salut à vous deux !

laquestion, comme l'a dit matieuH, tout dépend de la valeur qu'on donne à la fonction sur l'ensemble dense, ici elle est particulière. L'énoncé est classique mais la preuve un peu moins !

[mathieuH]

On peut même retourner la question:

quelles valeurs donner à la fonction sur l'ensemble dense pour qu'elle soit continue sur l'ensemble (...)

[Nightmare]

Pas d'idées?

[laquestion]

On peut même retourner la question:

quelles valeurs donner à la fonction sur l'ensemble dense pour qu'elle soit continue sur l'ensemble (...)

il faudrait que f(un) tende vers zero pour toute suite de cauchy d'element de l'ensemble dense qui ne soit pas convergente, non ?

[lapras]

salut j'ai eu ca en interrogation (enfin c'était tres proche).
C'est pas tres compliqué.

[Nightmare]

Salut Lapras :happy3:

Ce n'est pas compliqué mais ce n'est pas super évident non plus. Le gros du problème réside à montrer que si une suite de fractions irréductible tend vers un irrationnel alors la suite des numérateurs diverge vers +oo. Ce n'est pas dur mais pas trivial !

[lapras]

Oui je suis d'accord ! Un petit raisonnement par l'absurde.
Disons que ce résultat est classique pour les taupins, mais je ne sais pas pour les olympiades...

[Nightmare]

Oui c'est effectivement un "classique" en prépa, mais la preuve étant de niveau TS, il méritait bien sa place ici je trouve :lol3:

[miikou]

lol j'ai eu cet exo en L3 a un partiel, mon dieu .. :ptdr:

[benekire2]

Salut a tous,

La solution de l'exo m'intéresse beaucoup ... Quelqu'un pourrait-il le corriger s'il vous plait ?

[Ben314]

Si (irréductible) est un rationnel alors .
Or il existe une suite de non rationnels qui tend vers x et comme pour tout n, on a ce qui montre que f n'est pas continue en x.

Si x n'est pas un rationnel, fixons un .
L'intervalle [x-1,x+1] ne contient qu'un nombre fini de rationnels tels que (pour q fixé, un intervalle de largeur 2 contient au plus 2q+1 rationnels p/q) et aucun d'entre eux n'est égal à x (car x irrationnel).
Cela permet de voir qu'il existe un petit intervalle ouvert I contenant x et aucun rationnel tel que . Pour tout y dans I, on a alors :
Soit y est irrationnel et f(y)=0.
Soit y=p/q (irréductible) est rationnel et, par construction de I, on a donc
Conclusion : pour tout y dans I, on a ce qui prouve la continuité de f en x.

[benekire2]

Merci beaucoup :)

[Nightmare]

Si x n'est pas un rationnel, fixons un .
L'intervalle [x-1,x+1] ne contient qu'un nombre fini de rationnels tels que (pour q fixé, un intervalle de largeur 2 contient au plus 2q+1 rationnels p/q) et aucun d'entre eux n'est égal à x (car x irrationnel).
Cela permet de voir qu'il existe un petit intervalle ouvert I contenant x et aucun rationnel tel que . Pour tout y dans I, on a alors :
Soit y est irrationnel et f(y)=0.
Soit y=p/q (irréductible) est rationnel et, par construction de I, on a donc
Conclusion : pour tout y dans I, on a ce qui prouve la continuité de f en x.

Joli, je n'ai pas procédé ainsi et c'est beaucoup plus simple que ce que j'avais fait !

:happy3:

[Ben314]

Joli, je n'ai pas procédé ainsi et c'est beaucoup plus simple que ce que j'avais fait !

Rappel (voix de tarzan) : Moi Prof , Toi étudiant... :zen:

[benekire2]

Je ne sais pas quelle méthode tu as utilisé nightmare, mais moi cet exo me donne envie d'utiliser la définition " séquentielle " de la continuité.

Sur quelques essais, je suis bien arriver au résultat, mais j'ai des problèmes pour rédiger et traiter le cas général sur Q ou R-Q.

Quelqu'un pourrait-il m'aider pour que j'arrive à le "prouver" .
Merci :zen:


PS: Pour l'instant j'ai pas grand chose. Si une suite Un converge vers a=b/c ( un rationnel ) je dois montrer que f(Un) ne converge pas vers 1/(b+c)

Ai-je le droit de prendre une suite d'irrationnels ?

[Nightmare]

Je suis passé par les suites aussi, en fait c'est un peu moins "théorique" que Ben.

Si l'on se fixe x irrationnel quelconque et (xn) une suite de rationnels convergeant vers x, on veut étudier la suite f(xn).

Pour cela, il nous faut donc écrire chaque xn sous la forme pn/qn avec pn et qn copremiers. Alors f(xn)=1/(pn+qn).

Maintenant il s'agit de montrer que forcément, pn et qn tendent vers +oo. On aura a fortiori que f(xn) tend vers 0 et que la fonction est continue en les irrationnels (puisque f(x)=0 si x est irrationnel) et discontinue ailleurs.

Je te laisse montrer le lemme énoncé, à savoir que si la suite converge vers un irrationnel, alors numérateur et dénominateur divergent vers +oo (en valeur absolue éventuellement)