Fabriquer un carré

[Dlzlogic]

Bonjour,
Relation amusante :
"Etant donné un nombre entier quelconque non carré, on peut trouver un nombre infini de carrés, qui, multipliés par ce nombre, et le produit étant augmenté d l'unité, donne autant de carrés".
Soit n le nombre donné, on aura,
nxx + 1 = yy
J'ai recopié textuellement la phrase. La démonstration tient en 2 lignes.
C'est peut-être très connu, en ce cas, on passe.

[ampholyte]

on peut trouver un nombre infini de carrés, qui, multipliés par ce nombre, et le produit étant augmenté d l'unité

Bonjour,

J'ai un peu de mal à comprendre la partie de cette phrase.
Soit k un nombre quelconque tel que
Soit n un carré, alors
est un carré

Est-ce une bonne traduction ? Ou suis-je complètement à côté de la plaque :hein:

[Kikoo <3 Bieber]

Bonjour,
Relation amusante :
"Etant donné un nombre entier quelconque non carré, on peut trouver un nombre infini de carrés, qui, multipliés par ce nombre, et le produit étant augmenté d l'unité, donne autant de carrés".
Soit n le nombre donné, on aura,
nxx + 1 = yy
J'ai recopié textuellement la phrase. La démonstration tient en 2 lignes.
C'est peut-être très connu, en ce cas, on passe.

bonsoir,
Ça m'intéresse, Dlzlogic.

C'est quand même pas plutôt nxx+1=nyy ?
Cela revient à prouver qu'il existe n entier tel que nous ayons n(x^2-y^2)=1 si je me trompe pas

[Dlzlogic]

Bonjour,

J'ai un peu de mal à comprendre la partie de cette phrase.
Soit k un nombre quelconque tel que
Soit n un carré, alors
est un carré

Est-ce une bonne traduction ? Ou suis-je complètement à côté de la plaque :hein:

Il est vrai que la phrase est un peu compliquée, mais j'ai préféra la recopier telle qu'elle.
Elle se traduit par l'égalité marquée en dessous :
Soit n, donné, quelconque, il existe une infinité de x tels que
n.x.x + 1 = y.y
Exemple n=3 ; x=4; 3.4.4 +1 = 49 = 7²

[ampholyte]

Il est vrai que la phrase est un peu compliquée, mais j'ai préféra la recopier telle qu'elle.
Elle se traduit par l'égalité marquée en dessous :
Soit n, donné, quelconque, il existe une infinité de x tels que
n.x.x + 1 = y.y
Exemple n=3 ; x=4; 3.4.4 +1 = 49 = 7²

Ok merci c'est bien ce que je pensais.

Bon me reste plus qu'à plancher dessus (en 2 lignes :marteau: ) =)

[Dlzlogic]

bonsoir,
Ça m'intéresse, Dlzlogic.

C'est quand même pas plutôt nxx+1=nyy ?
Cela revient à prouver qu'il existe n entier tel que nous ayons n(x^2-y^2)=1 si je me trompe pas

Non, c'est bien ça. Mais je vais te faire un aveu, ce type de calcul sur les entiers ne me branche pas, j'ai donc pas vérifié la démonstration.
Mais, étant donné la source, sauf faute de recopie de ma part, il n'y a sûrement pas d'erreur?.

[Kikoo <3 Bieber]

Oui, c'est une equa diophantienne et j'aimerais un jour savoir résoudre ces horreurs tout seul.
Le but est de trouver l'ensemble des couples (x,y) de Z^2 qui vérifient cette égalité pour un n donné. Il y en a une infinité à ce qui parait, et je suppose qu'il s'agit d'une démo par l'absurde pour le montrer.

[Dlzlogic]

Oui, c'est une equa diophantienne et j'aimerais un jour savoir résoudre ces horreurs tout seul.
Le but est de trouver l'ensemble des couples (x,y) de Z^2 qui vérifient cette égalité pour un n donné. Il y en a une infinité à ce qui parait, et je suppose qu'il s'agit d'une démo par l'absurde pour le montrer.

Bof, j'avoue (encore) que je n'ai pas compris la première étape.
Si Doraki passe par là ...
Copie de la solution
http://www.dlzlogic.com/CreCarre.png

[Nightmare]

Hello,

il s'agit d'un cas particulier de l'équation classique de [url="http://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89quation_de_Pell-Fermat"]Pell-Fermat[/url]

:happy3:

[Skullkid]

Quelle est la source ? Je ne sais pas si ce qui est demandé est vrai ou pas mais la solution donnée est clairement fausse, ou alors il y a des données que tu n'as pas mises...

Ils semblent partir du postulat que si (x,y) est une solution alors (x²-n)² = 4, ce qui n'a aucune raison d'être vrai (c'est d'ailleurs faux pour n = 3 et x = 4, qui est un des exemples donnés). Et au final ils disent que y = (x²+n)/(x²-n), où l'on peut prendre pour x n'importe quel entier naturel. Pourtant, n étant donné, les nombres (x²+n)/(x²-n) n'ont aucune raison d'être entiers. Pire, on peut facilement montrer que pour n donné, il n'y a qu'un nombre fini d'entiers parmi les (x²+n)/(x²-n) où x décrit tous les entiers.

[Skullkid]

Quelle est la source ? La solution donnée m'a l'air très foireuse...

Ils semblent partir du postulat que si (x,y) est une solution alors (x²-n)² = 4, ce qui n'a aucune raison d'être vrai (c'est d'ailleurs faux pour n = 3 et x = 4, qui est un des exemples donnés). Et au final ils disent que y = (x²+n)/(x²-n), où l'on peut prendre pour x n'importe quel entier naturel. Pourtant, n étant donné, les nombres (x²+n)/(x²-n) n'ont aucune raison d'être entiers. Pire, on peut facilement montrer que pour n donné, il n'y a qu'un nombre fini d'entiers parmi les (x²+n)/(x²-n) où x décrit tous les entiers.

[Dlzlogic]

Hello,

il s'agit d'un cas particulier de l'équation classique de [url="http://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89quation_de_Pell-Fermat"]Pell-Fermat[/url]

:happy3:

Oh, c'est sûrement pas moi qui dirais le contraire.
Si j'ai bien compris la suite du texte, pour l'équation générale, au lieu du carré, c'est une puissance, mais je suis pas sûr qu'on sache le démontrer.

[Nightmare]

Si j'ai bien compris la suite du texte, pour l'équation générale, au lieu du carré, c'est une puissance

Je ne comprends pas bien ce passage. A quel texte fais-tu référence? A celui duquel est issu ton copier collé ou à la page wiki?

[Dlzlogic]

Je ne comprends pas bien ce passage. A quel texte fais-tu référence? A celui duquel est issu ton copier collé ou à la page wiki?

Voila le bouquin en question http://books.google.fr/books?id=QREOAAAAQAAJ&printsec=frontcover&hl=fr&source=gbs_ge_summary_r&cad=0#v=onepage&q&f=false
C'est page XXVII (discours préliminaire)

[nodjim]

http://fr.wikipedia.org/wiki/Identit%C3%A9_de_Brahmagupta
cette méthode est sans doute bien plus facile à comprendre.

[LeJeu]

Bof, j'avoue (encore) que je n'ai pas compris la première étape.
Si Doraki passe par là ...
Copie de la solution
http://www.dlzlogic.com/CreCarre.png

Salut Dzlogic,

"Il est certain d'abord que l'énoncé est piquant; qu'il promet une méthode curieuse ..."

Alors comme ça , on a attaqué la lecture de Delambre !

[Dlzlogic]

Salut Dzlogic,

"Il est certain d'abord que l'énoncé est piquant; qu'il promet une méthode curieuse ..."

Alors comme ça , on a attaqué la lecture de Delambre !

Ben oui, qu'est-ce que tu crois, quand on me donne un lien, j'essaye d'un profiter.
Concernant le volcan, je me suis peut-être trompé dans mon calcul, mais mon raisonnement est simple, qu'il y ait de l'eau ou pas la correction due à la sphéricité ( D²/12.8) est tant, la correction réelle est tant (d²/15).
Le calcul trigo résulte directement de la sphéricité, d'où une hauteur de falaise, on fait donc la différence avec la correction réelle, d'où une différence d'altitude à soustraire.
Tout compté fait j'aime mieux que B.J. ait raison, j'aime autant garder de bon rapports avec lui.

[chan79]

[quote="Skullkid"]Quelle est la source ? La solution donnée m'a l'air très foireuse...

QUOTE]
C'est ce que je pense aussi; il faudrait pouvoir lire la suite de cette solution qui est peut-être tronquée.
Je ne vois pas d'autre solution que de passer par la méthode de Pell Fermat, comme le dit Nightmare
Si on prend n=13 par exemple, il faut se taper la développement en fraction continue de

=[3, 1,1,1,1,6]


on calcule ensuite : =
et effectivement, 13 * 180² + 1 = 649²
ensuite, il y a une relation de récurrence
la solution suivante
13*233640²+1=842401²
Ce serait étonnant qu'il y ait une méthode qui donne facilement les solutions ( mais, on ne sait jamais ...)

[Skullkid]

Ce serait étonnant qu'il y ait une méthode qui donne facilement les solutions ( mais, on ne sait jamais ...)

Quoi qu'il en soit ce n'est pas le cas de la "solution" proposée.

En lisant un peu la suite du bouquin (voir ici, j'ai recopié le lien fourni par LeJeu dans un autre topic) je n'arrive pas à voir si l'auteur croit cette solution valable ou s'il s'en fout complètement...

Le seul truc auquel je pense c'est d'interpréter "carré" comme "carré d'un rationnel" et non "carré d'un entier". Ça rend inutile l'hypothèse "n est un entier non carré" mais bon, "tout a changé, j'arrive pas à suivre".

[LeJeu]

Je vous ai écrit un débriefing du post :


L'énoncé complet :

il s'agit d'un cas particulier de l'équation classique de Pell-Fermat

Oui, bien sûr ! C'est même sous cette forme que Fermat défie De Frénicle :



De Frénicle ne faiblit pas et donne :

.../... il faut se taper la développement en fraction continu .../...
13 * 180² + 1 = 649²

Tu vois maintenant ce qu'il te reste à te "taper"

Quelle est la source ? La solution donnée m'a l'air très foireuse...

en effet dans un premier élan, si les calculs sont bons , l'auteur dit un peu n'importe quoi dans sa conclusion :

http://fr.wikipedia.org/wiki/Identi..._de_Brahmagupta
cette méthode est sans doute bien plus facile à comprendre.

En fait le but de cet article est de regarder la contribution Bhascara pour la résolution de ce problème :



On voit au passage que Fermat a défié du monde avec son problème !

Ce serait étonnant qu'il y ait une méthode qui donne facilement les solutions ( mais, on ne sait jamais ...)

Et oui ! et d'ailleurs un peu plus loin dans le livre l'auteur se reprend :


Si c'est pas une belle histoire !