[Analyse] équation fonctionelle

Olympiades mathématiques, énigmes et défis
wkj
Membre Naturel
Messages: 18
Enregistré le: 12 Juin 2014, 15:40

[Analyse] équation fonctionelle

par wkj » 16 Juil 2014, 15:58

Salut,

déterminer toutes les fonctions tels que on ai :



LeJeu
Membre Irrationnel
Messages: 1113
Enregistré le: 24 Jan 2010, 23:52

par LeJeu » 16 Juil 2014, 22:03

wkj a écrit:Salut,

déterminer toutes les fonctions tels que on ai :


pour commencer :
Une solution est f(x)=x

Reste à montrer que c'est la seule , Beagle à toi !

beagle
Habitué(e)
Messages: 7601
Enregistré le: 08 Sep 2009, 16:14

par beagle » 16 Juil 2014, 22:48

LeJeu a écrit:pour commencer :
Une solution est f(x)=x

Reste à montrer que c'est la seule , Beagle à toi !


bien reçu,
j' y connais que couic en f de truc,
mais comme grosse faignasse, j'ai essayé f(x)= -x !!!!
-t'en pense quoi des dits dacticiens, toi?
-euh, je sais pas, il en faudrait au moins quinze peut-être, dix c'est pas beaucoup.

beagle
Habitué(e)
Messages: 7601
Enregistré le: 08 Sep 2009, 16:14

par beagle » 16 Juil 2014, 23:07

f(x) = ax marche, non?
-t'en pense quoi des dits dacticiens, toi?
-euh, je sais pas, il en faudrait au moins quinze peut-être, dix c'est pas beaucoup.

beagle
Habitué(e)
Messages: 7601
Enregistré le: 08 Sep 2009, 16:14

par beagle » 17 Juil 2014, 10:22

pas très bon en calcul hier soir j'avais f(x) = -x qui me semble bon
et comme je suis nul en calcul j'avais aussi f(x) = ax qui est faux.

Sinon, je n'ai pas l'habitude de résoudre ces trucs là.
Alors je commencerai doucement,
en prenant quelques valeurs comme
x=0
f(0) = f(y)x f(0)
pour tout y, de là à penser que f(0) = 0 !

alors
pour y = 0
f(xf(x)) = x² je sais pas si c'est utile

avec x=1
f(f(y+1)) = f(y)f(1) +1
...
jamais bossé ces techniques, mais bon...
-t'en pense quoi des dits dacticiens, toi?
-euh, je sais pas, il en faudrait au moins quinze peut-être, dix c'est pas beaucoup.

beagle
Habitué(e)
Messages: 7601
Enregistré le: 08 Sep 2009, 16:14

par beagle » 17 Juil 2014, 10:35

juste quelques lignes car je fais erreur de calculs sur erreur de calculs.

je n'y connais rien aux méthodes de résolution de ces trucs là.
Mais il me semble que f(x) =-x marche aussi.

Ensuite en prenant des valeurs de 0 ou 1 pour x et y,
on obtient quelques renseignements:
x=0 va donner f(o) =0
y = 0 donne f(xf(x)) = x²

x=1
f(f(y+1) = f(yf(1)) +1
avec y=1
f(f(2)) = f(f(1)) + 1 = 2

f(f(y+1))= f(y) + 1
.................
bon doit y avoir des techniques de ce genre, ou mieux, j'imagine bien connues...
-t'en pense quoi des dits dacticiens, toi?
-euh, je sais pas, il en faudrait au moins quinze peut-être, dix c'est pas beaucoup.

beagle
Habitué(e)
Messages: 7601
Enregistré le: 08 Sep 2009, 16:14

par beagle » 17 Juil 2014, 15:59

f(f(y+1))= f(y) + 1
y=1
2=f(1) +1
f(1)= 1

x=1,y=-1
f(1f(1-1)) = f(-1f(1)) +1
0= f(-1) + 1
f(-1)=-1

voilà il reste plus beaucoup de réels à trouver, si ?
ah si quand mème!
-t'en pense quoi des dits dacticiens, toi?
-euh, je sais pas, il en faudrait au moins quinze peut-être, dix c'est pas beaucoup.

Monsieur23
Habitué(e)
Messages: 3966
Enregistré le: 01 Oct 2006, 19:24

par Monsieur23 » 17 Juil 2014, 16:05

beagle a écrit:x=1
f(f(y+1) = f(yf(1)) +1
avec y=1
f(f(2)) = f(f(1)) + 1 = 2

f(f(y+1))= f(y) + 1
.................
bon doit y avoir des techniques de ce genre, ou mieux, j'imagine bien connues...


Juste par curiosité, comment tu trouves ta dernière ligne?
« Je ne suis pas un numéro, je suis un homme libre ! »

beagle
Habitué(e)
Messages: 7601
Enregistré le: 08 Sep 2009, 16:14

par beagle » 17 Juil 2014, 17:03

Monsieur23 a écrit:Juste par curiosité, comment tu trouves ta dernière ligne?


Euh, en truandant j'ai l'impression.
Zut encore de l'inversion dans les formules.
Bon, cet exo n'est à la base pas pour moi,
mais comme LeJeu a peur le soir tout seul sur les fils désertés,
il m'a lancé un pas malin :"beagle à toi!"
-t'en pense quoi des dits dacticiens, toi?
-euh, je sais pas, il en faudrait au moins quinze peut-être, dix c'est pas beaucoup.

beagle
Habitué(e)
Messages: 7601
Enregistré le: 08 Sep 2009, 16:14

par beagle » 18 Juil 2014, 15:20

quelques trucs:
f(f(2x)) = 2f(fx))
f(xf(x)) = x²

on cherche x1 tel que f(x1) = 1

f(x1f(x1)) = x1²
f(x1) = x1²
x1² = 1

f(1)=1 ou f(-1) =1
si ça peut aider!!!!!
-t'en pense quoi des dits dacticiens, toi?
-euh, je sais pas, il en faudrait au moins quinze peut-être, dix c'est pas beaucoup.

DamX
Membre Rationnel
Messages: 627
Enregistré le: 02 Oct 2012, 15:12

par DamX » 18 Juil 2014, 15:45

Hello,

je proposerais, en considérant les solutions parmi les fonctions dérivables :

on a comme déjà dit mais aussi en appliquant la relation à y = -x. Donc si on considère l'ensemble I des images de xf(x) pour x réel, qui est comme f est supposée dérivable et à fortiori continue au moins un intervalle sinon tout R (TVI). Bref sur I f est donc impaire, et de fait f' est paire sur cet intervalle, ce qui est important pour la suite.

A présent, je dérive la relation par rapport à y, ce qui donne :


En appliquant cette relation en y=0, on trouve :
(1) :

En l'appliquant pour y=-x, on trouve cette fois-ci:

c'est à dire en remplaçant f(0)=0
(2) :

C'est ici qu'entre l'argument de parité de f' sur I, qui permet donc de dire que , que l'on peut remplacer dans (2) au moyen de ce qu'on a obtenu par (1). Cela donne :

, ce qui se simplifie en :


A présent ça tombe tout seul, en intégrant on a :


Evidemment en redérivant f et en prenant en x=0 (pour retrouver f'(0)) on voit que la seule constante possible est C=0, donc on retombe sur f de la forme:



Donc si f est solution, elle est nécessairement de la forme f(x) = ax.

En remplaçant dans la relation initiale, on trouve donc

et on retombe sur les deux solutions déjà exhibées f(x)=x et f(x)=-x qui sont donc les seules solutions dérivables.

Modulo quelques points de rigueurs oubliés dans ma démo comme le traitement de la singularité en x=0 dans mes divisions au cours des calculs je pense que ça se tient :we:

Damien

beagle
Habitué(e)
Messages: 7601
Enregistré le: 08 Sep 2009, 16:14

par beagle » 18 Juil 2014, 18:40

D'une façon générale c'est pas très bien vu par la modération de dériver sur les fils de maths forum.
Mais là comme tu aboutis à la solution du problème initial je pense pas que tu te fasses saquer!

Bravo Damien.
-t'en pense quoi des dits dacticiens, toi?
-euh, je sais pas, il en faudrait au moins quinze peut-être, dix c'est pas beaucoup.

wkj
Membre Naturel
Messages: 18
Enregistré le: 12 Juin 2014, 15:40

par wkj » 18 Juil 2014, 21:28

excellent DamX ! ce sont mêmes toutes les solutions tout court !

Ingrid55
Membre Relatif
Messages: 162
Enregistré le: 06 Juil 2014, 23:51

par Ingrid55 » 18 Juil 2014, 21:54

Cette exercice n'est pas facile *.*

ffpower
Membre Complexe
Messages: 2542
Enregistré le: 13 Déc 2007, 06:25

par ffpower » 18 Juil 2014, 22:01

Ce fût sympatique :)

Préliminaire: j'ai utilisé la transformation pour obtenir l'équation
,
qui est un peu plus pratique pour travailler.


Donc:

- donne ..Si est non nul, ça implique constante, mais constante ne vérifie pas l'equation. Donc .

- donne . En particulier, on obtient =>

-Main tricks: est injective! Si , le terme de gauche de l'équation devient ,
donc l'équation se simplifie en . Par le point précédent, ça implique . Si (), on sait déjá que , sinon, on simplifie et .

- est impaire: , donc par injectivité et on simplifie par (si non nul) pour obtenir l'imparité.
En particulier, est solution de l'equation si et seulement si l'est.

-Calcul de : L equation devient pour : . Puis pour : , donc ou .. Quitte á remplacer par , on peut supposer dorénavant que .

-On reprend l'équation: pour ,
pour , et en utilisant l'imparité,
Les deux équations ensemble impliquent la relation ..En particulier,

-Pour , l'équation devient
En utilisant le fait que , ça devient
En utilisant l'injectivité, ça devient

Donc (ou quand )..ouf :we:

 

Retourner vers ⚔ Défis et énigmes

Qui est en ligne

Utilisateurs parcourant ce forum : Aucun utilisateur enregistré et 4 invités

Tu pars déja ?



Fais toi aider gratuitement sur Maths-forum !

Créé un compte en 1 minute et pose ta question dans le forum ;-)
Inscription gratuite

Identification

Pas encore inscrit ?

Ou identifiez-vous :

Inscription gratuite