Equation fonctionelle

par **lapras** » 05 Fév 2008, 21:41

Bonsoir,

Voici une très jolie équation fonctionnelle :
f : IN -> IN
Pour tout n dans IN :
f(f(n)) = n + 1987
déterminer f
:++:

par **Nightmare** » 05 Fév 2008, 22:13

Bonsoir :happy3:

f de N dans N ou de N* dans N* ?

par **Nightmare** » 05 Fév 2008, 22:16

Non en fait ça revient au même.

Je propose la solution : " Pas de solutions". Je garde ma démo pour ceux qui veulent chercher encore.

par **lapras** » 05 Fév 2008, 22:28

Exacte pas de solution
Tu es rapide nightmare, cette équation fonctionelle n'était pas évidente, du moins la solution que je connais.
Peut être as-tu justement trouvé une autre astuce, j'ai hâte de voir ça, mais laissons un peu chercher les autres.

par **kazeriahm** » 05 Fév 2008, 22:37

Salut

http://www.maths-forum.com/showthread.php?t=49180&highlight=2007

par **lapras** » 05 Fév 2008, 22:47

Arf je m'y attendais pas, désolé...
Bah en fait ma solution c'est celle de ThSQ avec les paires (n, r)
comme 1987 es impair ca revient au même que l'équation fonctionelle avec 2007.
Bon bah maintenant que tout le monde a la solution, nightmare, tu peux proposer ta solution ?

par **ThSQ** » 05 Fév 2008, 23:05

kazeriahm a écrit:Salut

http://www.maths-forum.com/showthread.php?t=49180&highlight=2007

J'm'disais bien que je l'avais vu, ou sa petite sur, celle-là !

par **nodgim** » 07 Fév 2008, 22:57

Une autre du même genre, mais un peu plus difficile:
Toujours définie dans N, f(n+1)>f(n) et f(f(n))=3n. Trouver f(2004)

par **ThSQ** » 07 Fév 2008, 23:24

Une solution par petits pas :

- f(1) = 2 :

f(1) est forcément != 1 donc > 1
si f(1) = 3 alors f(3) = 3 impossible car f(3) > f(1) + 2
pareil si f(1) > 3

- f(2) = 3 direct
- f(3) = f(f(2)) = 6
- f(6) = 9 direct

9 = f(6) > f(5) > f(4) > f(3) = 6 ça donne f(4) et f(5)

.... par récurrence on finit sur f(2004).

par **ffpower** » 14 Fév 2008, 21:01

Allez moi aussi j y met mon ptit morceau

Existe t il des fonctions f de N dans N telles qque f(f(n))=n² pour tout n?

par **ThSQ** » 15 Fév 2008, 00:12

Il y en a au moins une !

f(1) = 1
f(2) = 3
f(3) = 2²
f(2²) = 3²
f(5) = 6
f(6) = 5²
f(7) = 8
f(8) = 7²
f(3²) = (2²)²
....

En gros on partage les non-carrés en deux tas u(n) et v(n) (un sur deux dans mon exemple) et f(u(n^(2^k))) = v(n)^(2^k), f(v(n^(2^k))) = u(n)^(2^k)

par **ffpower** » 15 Fév 2008, 00:55

c exactement ca,bien joué..
edit:c d ailleurs pas tres compliqué que les seules fonctions qui marchent sont celles de la forme que tu as dit

par **aviateurpilot** » 17 Fév 2008, 02:33

ThSQ a écrit:En gros on partage les non-carrés en deux tas u(n) et v(n) (un sur deux dans mon exemple) et f(u(n^(2^k))) = v(n)^(2^k), f(v(n^(2^k))) = u(n)^(2^k)

bien joué, cmt t'a fait pour trouver c exemple??

voila ce que j'ai fait pour trouver tous les solutions possibles:
on suppose que l'ensembe des entiers naturel qui ne sont pas des carré parfait

tel que

la 1er des chose c'est que

et

(evident)

on a donc

et on a

d'ou

alors pour determiner

il suffi de trouver les

de tel sorte que

bien sur on sait avant qu'il existent

tel que

donc

donc on a:
1er cas:

et donc

2eme cas:

et donc

et mnt on peux dire que

ou

pour un certain

et donc => (absurde car 1 est un carré parfait)

et bien sur on remarque avec ces 2 cas possible qu'on px construire des couple

tel que

et

autrement dit, partitionner

en deux partie

et

tel que

et

finallement: n'importe que

s'ecrit sous la forme

ou

et on a f totalement definie par:

et ca presente bien tout les solution possibles

nodgim a écrit:Une autre du même genre, mais un peu plus difficile:
Toujours définie dans N, f(n+1)>f(n) et f(f(n))=3n. Trouver f(2004)

là j pense que c'est un exo faux, car il a bcp de valeurs possible pour f(2007) sauf erreur.
1er exemple:

2eme exemple:

j'ai meme trouvé l'ensemble de solutions possible si vous voulez

par **ffpower** » 17 Fév 2008, 10:28

pour mon exo,ca a l air de marcher(sauf qu on peut avoir f(0)=1 et f(1)=0 lol)
pour le 2eme exo par contre ton exemple n a pas l air de marcher a cause de l hypothese de croissance.Avec ton exemple je trouve f(3)=6 et f(4)=5

par **ThSQ** » 17 Fév 2008, 11:03

aviateurpilot a écrit:bien joué, cmt t'a fait pour trouver c exemple??

L'idée est assez classique : partager en deux tas et envoyer les éléments de l'un vers les éléments de l'autre. Restait à régler le problème des carrés pour remettre tout dans l'ordre. (pas très clair mais c'est l'idée que j'ai suivie).

(et j'ai rempli plusieurs feuilles d'essais infructueux ...)

par **aviateurpilot** » 17 Fév 2008, 11:56

ffpower a écrit:pour mon exo,ca a l air de marcher(sauf qu on peut avoir f(0)=1 et f(1)=0 lol)
pour le 2eme exo par contre ton exemple n a pas l air de marcher a cause de l hypothese de croissance.Avec ton exemple je trouve f(3)=6 et f(4)=5

pour le 1er t'a raison, mais cela ne change rien pour la solution general,
pour le 2eme, oui j'ai oublié le fait que f(n+1)>f(n).

ThSQ a écrit:L'idée est assez classique : partager en deux tas et envoyer les éléments de l'un vers les éléments de l'autre. Restait à régler le problème des carrés pour remettre tout dans l'ordre. (pas très clair mais c'est l'idée que j'ai suivie).

(et j'ai rempli plusieurs feuilles d'essais infructueux ...)

tres bien

par **Imod** » 17 Fév 2008, 13:25

Eh oui , il a oublié d'être bête notre ThSQ :++:

Imod

par **ThSQ** » 17 Fév 2008, 17:16

J'ai pas oublié d'être têtu surtout :dingue: :lol5:

par **Imod** » 17 Fév 2008, 20:05

ThSQ a écrit:J'ai oublié d'être têtu surtout :dingue: :lol5:

Il semblerait plutôt que tu n'a pas oublié :mur:

Imod

par **raito123** » 17 Fév 2008, 20:43

aviateurpilot a écrit:j'ai meme trouvé l'ensemble de solutions possible si vous voulez

Vas y stp!!!

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