Equation fonctionelle

[kasmath]

trouvez tous les fonction
tel que :

[windows7]

on a

f(n) <= n

donc f(1)=1

f(2) = f( 1 + f(1) ) = f(1)² +1 = 2

f(3) =f( 1 + f(2) ) = f(1)²+3 = 3

patati patata

[Ben314]

... f(n) <= n ...

Et pourqoui donc ?

[windows7]

salut ben

parce que dans IR on a deja pas bien le choix ..

[Doraki]

c'est pas parcequ'on a une fonction de N* dans N* qui vérifie ces équations qu'on a une fonction de R dans R qui étend la fonction de départ tout en continuant à vérifier les équations pour n et m non-entiers.

[windows7]

oui oui oui oui oui mais on voit mieu les choses dans IR

suffit de remarquer de fof est affine en realité

[kasmath]

on a

f(n) <= n

donc f(1)=1

f(2) = f( 1 + f(1) ) = f(1)² +1 = 2

f(3) =f( 1 + f(2) ) = f(1)²+3 = 3

patati patata

tu pourrais pas poser quq chose sans démontrer

[Ben314]

1) Pour tout , si alors donc : f est injective.

2) Pour tout , on a :
(par symétrie)
donc (injectivité) ce qui montre que est constante.
Si on note cette constante, alors, pour tout , doit être un carré et cela n'est possible que si .
On en déduit que, pour tout , , c'est à dire que .

3) Pour tout , on a si on pose .
On en déduit (récurrence) que .
Or, on doit avoir , c'est à dire ce qui n'est possible que si

Conclusion : Pour tout ,

[kasmath]

1) Pour tout , si alors donc : f est injective.

2) Pour tout , on a :
(par symétrie)
donc (injectivité) ce qui montre que est constante.
Si on note cette constante, alors, pour tout , doit être un carré et cela n'est possible que si .
On en déduit que, pour tout , , c'est à dire que .

3) Pour tout , on a si on pose .
On en déduit (récurrence) que .
Or, on doit avoir , c'est à dire ce qui n'est possible que si

Conclusion : Pour tout ,

presque comme mon idée

[windows7]

propose un truc compliqué et on verra mais bon la ..

dailleurs cest bcp plus general que cela

[windows7]

je suis pas sur d'avoir bien lu

n²+k est un carré => k=0 ?

pythagore et ces fameux triplets sont plus d'actualité ?

[Nightmare]

n² + k doit être un carré pour tout n ! En particulier, pour n=2 ...

[windows7]

oui et ya combien de K verifiants ca ? je vois bcp !

[Doraki]

Si k > 0 et n > (k-1)/2, alors n²+k ne peut pas être un carré.

[windows7]

oui oui j'avoue jveux casser les burnes un peu :D

[windows7]

bon je donne quand meme ma reponse ..

fof=id

on montre f croissante de la facon suivante

comme fof=id alors n=f(k)

donc f(m²+f(n)) = f(m²+k) = f(m)²+f(k)

on prend m=1 on a alors

f(1+k)=f(1)²+f(k)

donc f(1+k)-f(k) > 0 f croissante

montrons juste f(n)=n


si f(n) > n

=> fof(n) > f(n) par croissance

fonc n > f(n)

donc f(n)=n

[windows7]

bon je donne quand meme ma reponse ..

fof=id

on montre f croissante de la facon suivante

comme fof=id alors n=f(k)

donc f(m²+f(n)) = f(m²+k) = f(m)²+f(k)

on prend m=1 on a alors

f(1+k)=f(1)²+f(k)

donc f(1+k)-f(k) > 0 f croissante

montrons juste f(n)=n


si f(n) > n

=> fof(n) > f(n) par croissance

fonc n > f(n)

donc f(n)=n

idem si f(n) < n

[Ben314]

...fof=id...

Pourqoui ?

[windows7]

comme je l'ai di je ne c plus quand c'est bien plus general que juste le cas exposé par notre ami.

tu veux une autre demo que la tienne pour fof = id ?