Hello,
je proposerais, en considérant les solutions parmi les fonctions dérivables :
on a comme déjà dit
mais aussi
en appliquant la relation à y = -x. Donc si on considère l'ensemble I des images de xf(x) pour x réel, qui est comme f est supposée dérivable et à fortiori continue au moins un intervalle sinon tout R (TVI). Bref sur I f est donc impaire, et de fait f' est paire sur cet intervalle, ce qui est important pour la suite.
A présent, je dérive la relation par rapport à y, ce qui donne :
En appliquant cette relation en y=0, on trouve :
(1) :
En l'appliquant pour y=-x, on trouve cette fois-ci:
c'est à dire en remplaçant f(0)=0
(2) :
C'est ici qu'entre l'argument de parité de f' sur I, qui permet donc de dire que
, que l'on peut remplacer dans (2) au moyen de ce qu'on a obtenu par (1). Cela donne :
, ce qui se simplifie en :
A présent ça tombe tout seul, en intégrant on a :
Evidemment en redérivant f et en prenant en x=0 (pour retrouver f'(0)) on voit que la seule constante possible est C=0, donc on retombe sur f de la forme:
Donc si f est solution, elle est nécessairement de la forme f(x) = ax.
En remplaçant dans la relation initiale, on trouve
donc
et on retombe sur les deux solutions déjà exhibées f(x)=x et f(x)=-x qui sont donc les seules solutions dérivables.
Modulo quelques points de rigueurs oubliés dans ma démo comme le traitement de la singularité en x=0 dans mes divisions au cours des calculs je pense que ça se tient :we:
Damien