Equation fonctionelle

[laquestion]

pour l'instant on a que les solutions forme un semigroupe fini.

[Ben314]

trouver tous les fonction
telle que ;

Il faudrait que tu m'explique comment tu obtient ton résultat (disymétrique) lorsque f(x)=x pour tout x....

Si f(x)=x alors
a) f(m²+n²)=m²+n²
b) (f(m))²+(f(n))²=(m)²+(n)²
?????

[Ben314]

Pour le moment, j'ai (dans cet ordre) :
f(1)=a
f(2)=2a²
f(5)=4a^4+a²
f(8)=8a^4
f(7)²=32a^8+16a^6+2a^4-a² (car 7²+1²=5²+5²)
f(4)²=32a^8-16a^6-2a^4+2a² (car 4²+7²=8²+1²)

Aprés je suis un peu sec... je me demande s'il faut chercher d'autres f(?) ou bien regarder les 2 dernières comme des équations diophantiennes et essayer de les "résoudre"...

[kasmath]

voila la bonne réponse

mais si on note

on va dèdouire que

ce qui va donner


alors

d'après l'initial( ) on a

ce qui va ne guider de résoudre l'équation suivante et cette dernière n'admet pas de solution dans alors il n'y a pas de solution de cette équation

[Ben314]

Je te le dit tout de go, c'est... n'importe quoi !!!

en particulier car f(x)=x est EVIDEMENT une solution.

[kasmath]

si on pose que est un solution dans ce cas on va démontrer que c'est la seul posant

[kasmath]

trouver tous les fonction
telle que ;

démonstration par absurde
posant alors
ce qui va donner est c'est impossible car
j'attend ta démonstration qui dise que est un solution

[Ben314]

Je ne vois toujours pas d'où sort le : ""

La "preuve" (si on peut parler de preuve !!!) que est une solution se trouve dans le post #20...

[kasmath]

pardon j'ai cru ça :briques:

trouver tous les fonction
telle que ;

je vais essayer de re écrire

[Ben314]

Avec ce nouvel énoncé, ta preuve marche : il n'y a pas de solution.
Mais ce nouvel énoncé me parrait infiniement plus simple que celui de départ...

[Ben314]

Bon, je complète mon post précédent (mais c'est quand même à peine bourin)

(car 7²+1²=5²+5²) (car 4²+7²=8²+1²)
(car 11²+2²=10²+5²) mais aussi (car 13²+2²=11²+7²)
On en tire (en utilisant le fait que a est non nul) que (car 11²+2²=10²+5²) (car 9²+7²=11²+3²) (car 6²+7²=9²+2²)

La seule façon d'avoir f(6)² carré parfait (donc positif) est de prendre a=1
d'où f(n)=n pour tout n de 1 à 10 et donc f(n)=n pour tout entier n
(ouf!!!)

[Zweig]

Salut,

Clairement,

Donc comme est définie sur . On en déduit . On montre de même , et , d'où , i.e, .

Bref, il semble que soit solution.

On considère le lemme suivant :

Preuve :

Lorsque vaut 0,1,2 ou 3, parcourt et les entiers considérés sont bien naturels, d'où le résultat.

Par récurrence forte, supposons pour tout . Le lemme se réécrit et on a :



D'où .

[Ben314]

Clairement,

ça ne me parait pas... clair du tout (f n'est pas définie en 0...)
Je pense que si on montre cette formule, c'est effectivement gagné...

[Zweig]

Bah j'ai utilisé cette relation seulement pour déterminer les cas particuliers, après je ne m'en resers pas, donc la démo reste correcte.

D'ailleurs l'énoncé original (concorus général 1994) est et .

Ne pas la définir en 0 ne sert à rien ...

[Ben314]

Si on regarde la relation dont tu te sert pour la récurrence, c'est une de celles que je proposait dans le post #1 (avec des valeurs de g,h,k,k' différentes de celles que j'ai pris) et la réccurence marche évidement avec n'importe quelle relation de ce type (en prenant une matrice de O(2) diffférente, tu peut trouver des tas d'autres relations)
Et, en ce qui concerne les "cas particuliers", le fait que f(0) n'existe pas 'corse' trés nettement le problème...
Si tu as une solution plus simple que celle du post #27, je suis preneur...

P.S.1 : "ne pas la définir en 0 ne sert à rien" : je ne suis pas du tout d'accord, cela sert à... rendre le problème nettement plus complexe.

P.S.2 : dans ton lemme, pour faire une récurrence, il faudrait en plus que a,b et c soient >0 et

[kasmath]

j'ai trouver les solution
attendais