Equation fonctionelle

[kasmath]

trouver tous les fonction
telle que ;

[Ben314]

Pour "symétriser" la relation, je chercerais bien a,b,c,d,e,f,g,h tels que :
(ax+by)²+(cx+dy)²=(ex+fy)²+(gx+hy)² pour tout x,y.
En l'écrivant et , on obtient que A=matrice_de_O(2)*B et en prenant comme matrice de O(2) la matrice on obtient une famille de solutions et
g=1,h=4,k=0,k'=-1 donne : x²+(2x+5y)²=(2x+3y)²+(x+4y)².
Pour tout x,y dans N*, on doit donc avoir
Compte tenu que tout entier n>10 peut s'écrire n=2x+5y avec x,y dans N* cela montre (récurrence) que f est entièrement définie par ces valeurs en 1,2,...,10.
Reste à trouver toute les contraintes sur ces valeurs en utilisant l'équation (+ peut-être d'autres valeurs pour g,h,k,k' ou d'autre matrices de O(2))

Je pense que la seule solution est f=Id, mais j'ai la flemme d'écrire tout les cas pour n<=10....

[kasmath]

oui est c'est ça le problème mais une petite remarque régle les chauses :we:
:id: :id:
j'ai bien aimer ton idée

[laquestion]

en posant
on a
donc mais ne s'annule pas.
donc donc et comme ne s'annule pas

[Ben314]

Salut,
Je ne comprend pas trop d'où sort le :

En prenant ta définition de g je ne trouve... rien
et en prenant je trouve ...

[laquestion]

oui je me suis trompé je cherche avec ton g

[laquestion]

les solutions forment un semi-groupe pour la composition.
si on montre que les solutions sont bijectives on aura meme un groupe.

[kasmath]

salut
premièrement il faut calculer f(1)

[laquestion]

je donne ma langue au chat

[laquestion]

Il ne manquerait pas des hypothèses (je suppose qu'il faut prouver qu'il n'y a que l'identité)
je n'arrive meme pas à trouver f(1).
je serais pas contre la solution.

[kasmath]

si on essai de démontrer que pour tout naturelle non nul une récurrence suffit et comme ca tu pourrai dédouir

[kasmath]

mais si on note

on va dèdouire que

ce qui va donner


alors

d'après l'initial( ) on a

ce qui va ne guider de résoudre l'équation suivante et cette dernière n'admet pas de solution dans alors il n'y a pas de solution de cette équation

[Ben314]

Je comprend pas trop d'où tu sort ça...

[kasmath]

on a

[laquestion]

mais si on note

on va dèdouire que

je suis pas sur dans les partie suivantes mais la résolution de l'équation suivante nous guide vers la bonne réponse

alors (impossible) ou bien
alors


réciproquement c'est pas vérifier

je ne comprends pas le rapport avec le probleme initial.
de plus f(m)=1 pour tout m ne veriefie pas les hypotheses.
peut etre qu'un post a disparu ...

[kasmath]

je ne comprends pas le rapport avec le probleme initial.
de plus f(m)=1 pour tout m ne veriefie pas les hypotheses.
peut etre qu'un post a disparu ...

ce que j'ai fait c'est pas juste je vais essayer de re écrire ma solution mais l'égalité c'est verifier

[laquestion]

ce que j'ai fait c'est pas juste je vais essayer de re écrire ma solution mais l'égalité c'est verifier

si on remplace f par l'identité ça ne colle pas, pourtant l'identité verifie l'identité initiale.

[kasmath]

mais si on note

on va dèdouire que

ce qui va donner


alors

d'après l'initial( ) on a

ce qui va ne guider de résoudre l'équation suivante

l'id sa ne verfier pas l'initial

[Ben314]

Lorsque f(x)=x, la condition initiale s'écrit m²+n²=m²+n² et je crois bien que c'est vrai pour tout m et n...

[kasmath]

Lorsque f(x)=x, la condition initiale s'écrit m²+n²=m²+n² et je crois bien que c'est vrai pour tout m et n...

non