N^x entier?

[vincentroumezy]

Oui, c'est foireux, car si x n'est pas,un entier, on ne peut pas faire de réccurence.

[darkpseudo]

Je sais pas , pourquoi pas prouver que pour un n de Q- N la propriété est fausse après le passage à R devrait être évident ( enfin je pense )

Bein pour un n prenons 2 on a 2^(p/q) tel que p et q soit premier entre eux n'est pas entier , comment le montrer ?? Si p < q c'est évident vu que 2^(p/q) est plus petit que 2 et plus grand que 1 donc c'est pas un entier , si p > q on peux toujours écrire p sous la forme q + k on aura alors 2^(p/q) = 2*2^(k/q) et vu que kEn espérant ne pas avoir dis une sottise .

[ffpower]

Le passaga à R n'a rien d'évident. Par exemple si x=ln(3)/ln(2), alors 2^x=3. Il est donc important là d'utiliser que n^x est entier pour plusieurs valeurs de n ( ici, pour toute valeur de n, mais il est conjecturé que deux valeurs différentes suffisent )

[Matt_01]

Salut,

je relance un peu ce topic pour savoir (comme Nightmare) si vous avez d'autre(s) solution(s) pour cet énoncé.
Je pense ne pas trop me tromper en disant que Nightmare avait pensé à une solution de ce type (en blanc pour ceux qui éventuellement rechercherait) :
On suppose que x vérifie la propriété et on note (u_n) la suite (n^x).
Alors en appliquant l'opérateur delta à u, on montre aisément que la suite créée est alors équivalente à f'(n) avec f : n -> n^x.
En réitérant, on obtient que l'image de u par la composée k-ieme de delta est une suite de N, équivalente à la dérivée k-ieme de f.
Du coup (en observant les dérivées de f), on prouve qu'à partir d'un certain k, les composées k-ièmes tendent vers 0 lorsque n tend vers l'infini, ce qui implique qu'elles valent 0 à partir d'un certain rang.
En remontant successivement, ceci entraîne que u peut en fait s'écrire u_n = P(n) à partir d'un certain rang, avec P un polynôme à coefficients entiers.
Et donc x est entier (ne serait que par équivalent), et en fait P est un monôme.

Des idées ?