N^x entier?

par **Nightmare** » 11 Déc 2010, 19:14

Salut,

Comment détermineriez-vous l'ensemble des réels x tels que

soit entier pour tout entier n de façon simple?

:happy3:

par **Nightmare** » 11 Déc 2010, 19:28

Bon la question est formulée un peu naïvement. On sait que cet ensemble est N, peut-on le prouver de façon simple?

J'ai une preuve analytique assez tordue mais pas difficile qui consiste à examiner l'opérateur

. J'ai peine à croire que ce soit THE solution pour ce problème bien qu'elle soit élégante.

par **ffpower** » 11 Déc 2010, 19:33

n=2,3 et 5 suffisent :we:
( sauf que là, c'est de la théorie des nombres un peu poussée )

par **Nightmare** » 11 Déc 2010, 19:34

Tient oui, on en a parlé dans un de mes derniers TD d'algèbre.

par **benekire2** » 11 Déc 2010, 19:46

Le problème n'a pas déjà été posé récemment sur le forum ?

par **ffpower** » 11 Déc 2010, 19:49

Je crois que si :happy2:

par **Nightmare** » 11 Déc 2010, 19:55

Bah si quelqu'un à le lien, qu'il ne se prive pas !

par **ffpower** » 11 Déc 2010, 19:58

Je me souviens plus du lien, mais si solution il y a eu, je pense que c'était avec le delta..

par **Matt_01** » 11 Déc 2010, 20:03

J'avais déjà vu une preuve utilisant gamma (ou zetâ ?!), mais je m'en rappelle plus ... (j'ai conscience de l'intérêt limité de ma contribution)

par **Zweig** » 11 Déc 2010, 20:04

http://www.maths-forum.com/showthread.php?t=106531&highlight=exponentielles

par **vincentroumezy** » 11 Déc 2010, 20:08

L'ensemble recherché est N, car n de N est un entier, et par récurrence, on peut montrer que n^x avec x dans N est aussi un entier.

par **benekire2** » 11 Déc 2010, 20:29

vincentroumezy a écrit:L'ensemble recherché est N, car n de N est un entier, et par récurrence, on peut montrer que n^x avec x dans N est aussi un entier.

Là n'est pas la question, ce que tu affirme est .. évident alors que le problème a priori ne l'est pas du tout.

par **Nightmare** » 11 Déc 2010, 20:31

vincentroumezy a écrit:L'ensemble recherché est N, car n de N est un entier, et par récurrence, on peut montrer que n^x avec x dans N est aussi un entier.

Attention, tu ne fais que prouver que N est inclus dans l'ensemble recherché ce qui comme dit Bene est évident. Ce qui l'est beaucoup moins, c'est N est exactement l'ensemble recherché.

par **benekire2** » 11 Déc 2010, 20:39

Zweig > Oui, je me rapelle de ton topic ( j'avais galéré avec la notion d'indépendance linéaire, c'était la première fois que je voyais ça ) mais ça nécessite le théorème des 6 exponentielles ... Je crois bien l'avoir vu il y a moins de 3 mois ..

par **vincentroumezy** » 11 Déc 2010, 20:39

On pourrait montrer que si x n'est pas dans N, alors, n^x n'est pas entier.

par **Nightmare** » 11 Déc 2010, 20:45

Vas y :lol3:

C'est pas trop difficile pour x rationnel, pour le reste...

par **Anonyme** » 11 Déc 2010, 20:49

vincentroumezy a écrit:On pourrait montrer que si x n'est pas dans N, alors, n^x n'est pas entier.

C'est faux regarde un peu du cote du TVI pour t'en persuader.

par **Nightmare** » 11 Déc 2010, 20:52

Je pense qu'il voulait dire "n'est pas entier pour au moins un n"

par **vincentroumezy** » 12 Déc 2010, 12:21

Voila, et je pense que ca peut aussi se faire par récurrence.

par **ffpower** » 12 Déc 2010, 12:34

Ca m'a l'air foireux. Quelle propriété exacte veux tu donc montrer par récurrence ?

N^x entier?

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