éléments d'ordre fini d'un groupe.

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Ben314
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éléments d'ordre fini d'un groupe.

par Ben314 » 11 Jan 2017, 01:21

Salut,
Il y a quelque temps, j'étais tombé sur un post sans réponse (*) qui m'a donné un peu de fil à retordre :
énoncé a écrit:Soit F l'ensemble des éléments d'ordre fini d'un groupe G quelconque.
Montrer que si F est fini alors c'est un sous groupe de G.

(*) Ici même il me semble, mais j'ai fortement l'impression que l'outil "recherche" du Forum ne marche plus : si je recherche "groupe fini", il me met... zéro réponse... alors que je suis bien persuadé qu'il y a plusieurs centaines de posts qui parlent de groupes finis... (ou alors, il y a un truc que j'ai pas compris...)



Monsieur23
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Re: éléments d'ordre fini d'un groupe.

par Monsieur23 » 11 Jan 2017, 07:09

Aloha,

C'était ça : superieur/ayant-nombre-fini-sous-groupes-fini-t24854.html ?

Sinon, je sèche un peu aussi, je vais y réfléchir, mais seulement si tu m'assures qu'il ne faut pas faire une récurrence sur le nombre d'éléments finis.
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Ben314
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Re: éléments d'ordre fini d'un groupe.

par Ben314 » 11 Jan 2017, 20:44

Non, c'était pas celui là : sauf erreur, la question était exactement la même que celle que j'ai posé.

Et la méthode que je connais n'est pas directement une récurrence sur le nombre d'éléments fini, mais ça consiste en fait à démontrer... un résultat plutôt plus général...
Et la preuve de ce résultat demande effectivement de petites récurrences, mais "élémentaires", c'est à dire du style si alors ou des trucs du même style.

Monsieur23
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Re: éléments d'ordre fini d'un groupe.

par Monsieur23 » 11 Jan 2017, 21:11

Ouais, je parlais du message de Imod un peu plus loin dans le topic (exactement la même question, en rajoutant "distingué")
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Ben314
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Re: éléments d'ordre fini d'un groupe.

par Ben314 » 11 Jan 2017, 21:28

Oui, effectivement, ça risque d'être là que je l'ai lu.
Et effectivement, j'ai "oublié" de recopier distingué, mais, si effectivement c'est bien un sous groupe, il est trivial qu'il est distingué vu que l'ordre d'un conjugué de x c'est le même que l'ordre de x.

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Re: éléments d'ordre fini d'un groupe.

par Imod » 12 Jan 2017, 00:19

Il y a en effet une preuve élémentaire , mais comme le problème dort depuis plus de dix ans , il peut couver encore un petit peu :mrgreen:

Pour donner un peu de lumière , on peut considérer le groupe formé par les éléments d'ordre fini et montrer qu'il n'est rien d'autre que l'ensemble des éléments d'ordre fini .

Bonne année à tous .

Imod

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Re: éléments d'ordre fini d'un groupe.

par Imod » 14 Jan 2017, 12:01

Je ne sais pas trop si quelqu'un cherche encore , je donne à tout hasard un indice plus précis :

Tout élément du groupe engendré par les éléments d'ordre fini peut s'écrire comme un produit fini d'éléments de cet ensemble ( ce n'est pas une grande découverte ) . Dans une décomposition "minimale" d'un élément de ce groupe , le même facteur ne peut pas intervenir plusieurs fois ( indice énorme et pas trop difficile à montrer ) .

Vu les remarques de Ben , je pense avoir une solution très voisine de la sienne :mrgreen:

Amusez-vous bien avec ce problème que j'apprécie particulièrement :mrgreen:

Imod

L.A.
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Re: éléments d'ordre fini d'un groupe.

par L.A. » 14 Jan 2017, 17:07

Bonjour,

moi je cherche encore :rouge: mais sans doute sur une mauvaise piste...

J'ai supposé prendre deux éléments et d'ordre fini mais dont le produit est d'ordre infini, et je cherche à construire une infinité d'éléments d'ordre fini dans le groupe engendré par et . On peut penser aux conjugués , mais ils ne sont tous distincts qu'à condition que soit différent de pour tout n>0.

Pour n=1 c'est évident que , ce qui laisse à espérer que ça pourrait être aussi vrai pour n>1... Dans un grand produit une relation telle que pourrait faire des ravages.

Qu'en pensez-vous ?

Imod
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Re: éléments d'ordre fini d'un groupe.

par Imod » 14 Jan 2017, 19:24

Je ne pense pas que tu puisses y arriver comme ça :mrgreen:

Voilà comment j'ai procédé : on considère un élement le sous-groupe engendré pas les éléments d'ordres finis . On choisit une écriture minimale ( avec le moins de facteurs possible ) : , il faut montrer que ne peut pas excéder le cardinal de . On peut déjà remarquer que si ce résultat est établi alors le problème est résolu , étant un groupe fini , tous ses éléments sont d'ordre fini et . Après si le nombre de facteur de est supérieur au cardinal de on va retrouver deux fois le même facteur . Les deux facteurs ne peuvent pas être voisins car si est d'ordre fini , l'est aussi . De même peut se ramener à etc .

Imod

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Ben314
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Re: éléments d'ordre fini d'un groupe.

par Ben314 » Hier, 03:40

C'est aussi la façon que j'ai de procéder, et si on regarde bien la preuve, ce qu'on montre en fait, c'est un résultat un peu plus général et surtout beaucoup plus "évident" à démontrer vu sa formulation :

Lemme : Si un groupe quelconque est engendré par une partie "stable par conjugaison", c'est à dire telle que, pour tout on ait et alors tout peut s'écrire sous la forme avec , et où les sont des éléments distincts de .

Donc si on suppose de plus que est fini et que tout les éléments de sont d'ordre fini, cela prouve que est fini.

Il suffit alors d'appliquer ce résultat au groupe et à la partie de Imod (les conjugués d'éléments d'ordre fini sont bien d'ordre fini)

 

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