éléments d'ordre fini d'un groupe.

Olympiades mathématiques, énigmes et défis
Avatar de l’utilisateur
Ben314
Le Ben
Messages: 16907
Enregistré le: 11 Nov 2009, 22:53

éléments d'ordre fini d'un groupe.

par Ben314 » 11 Jan 2017, 01:21

Salut,
Il y a quelque temps, j'étais tombé sur un post sans réponse (*) qui m'a donné un peu de fil à retordre :
énoncé a écrit:Soit F l'ensemble des éléments d'ordre fini d'un groupe G quelconque.
Montrer que si F est fini alors c'est un sous groupe de G.

(*) Ici même il me semble, mais j'ai fortement l'impression que l'outil "recherche" du Forum ne marche plus : si je recherche "groupe fini", il me met... zéro réponse... alors que je suis bien persuadé qu'il y a plusieurs centaines de posts qui parlent de groupes finis... (ou alors, il y a un truc que j'ai pas compris...)
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius



Monsieur23
Vétéran
Messages: 3963
Enregistré le: 01 Oct 2006, 18:24

Re: éléments d'ordre fini d'un groupe.

par Monsieur23 » 11 Jan 2017, 07:09

Aloha,

C'était ça : superieur/ayant-nombre-fini-sous-groupes-fini-t24854.html ?

Sinon, je sèche un peu aussi, je vais y réfléchir, mais seulement si tu m'assures qu'il ne faut pas faire une récurrence sur le nombre d'éléments finis.
« Je ne suis pas un numéro, je suis un homme libre ! »

Avatar de l’utilisateur
Ben314
Le Ben
Messages: 16907
Enregistré le: 11 Nov 2009, 22:53

Re: éléments d'ordre fini d'un groupe.

par Ben314 » 11 Jan 2017, 20:44

Non, c'était pas celui là : sauf erreur, la question était exactement la même que celle que j'ai posé.

Et la méthode que je connais n'est pas directement une récurrence sur le nombre d'éléments fini, mais ça consiste en fait à démontrer... un résultat plutôt plus général...
Et la preuve de ce résultat demande effectivement de petites récurrences, mais "élémentaires", c'est à dire du style si alors ou des trucs du même style.
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius

Monsieur23
Vétéran
Messages: 3963
Enregistré le: 01 Oct 2006, 18:24

Re: éléments d'ordre fini d'un groupe.

par Monsieur23 » 11 Jan 2017, 21:11

Ouais, je parlais du message de Imod un peu plus loin dans le topic (exactement la même question, en rajoutant "distingué")
« Je ne suis pas un numéro, je suis un homme libre ! »

Avatar de l’utilisateur
Ben314
Le Ben
Messages: 16907
Enregistré le: 11 Nov 2009, 22:53

Re: éléments d'ordre fini d'un groupe.

par Ben314 » 11 Jan 2017, 21:28

Oui, effectivement, ça risque d'être là que je l'ai lu.
Et effectivement, j'ai "oublié" de recopier distingué, mais, si effectivement c'est bien un sous groupe, il est trivial qu'il est distingué vu que l'ordre d'un conjugué de x c'est le même que l'ordre de x.
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius

Imod
Vétéran
Messages: 6330
Enregistré le: 12 Sep 2006, 12:00

Re: éléments d'ordre fini d'un groupe.

par Imod » 12 Jan 2017, 00:19

Il y a en effet une preuve élémentaire , mais comme le problème dort depuis plus de dix ans , il peut couver encore un petit peu :mrgreen:

Pour donner un peu de lumière , on peut considérer le groupe formé par les éléments d'ordre fini et montrer qu'il n'est rien d'autre que l'ensemble des éléments d'ordre fini .

Bonne année à tous .

Imod

Imod
Vétéran
Messages: 6330
Enregistré le: 12 Sep 2006, 12:00

Re: éléments d'ordre fini d'un groupe.

par Imod » 14 Jan 2017, 12:01

Je ne sais pas trop si quelqu'un cherche encore , je donne à tout hasard un indice plus précis :

Tout élément du groupe engendré par les éléments d'ordre fini peut s'écrire comme un produit fini d'éléments de cet ensemble ( ce n'est pas une grande découverte ) . Dans une décomposition "minimale" d'un élément de ce groupe , le même facteur ne peut pas intervenir plusieurs fois ( indice énorme et pas trop difficile à montrer ) .

Vu les remarques de Ben , je pense avoir une solution très voisine de la sienne :mrgreen:

Amusez-vous bien avec ce problème que j'apprécie particulièrement :mrgreen:

Imod

L.A.
Membre Irrationnel
Messages: 1555
Enregistré le: 09 Aoû 2008, 17:21

Re: éléments d'ordre fini d'un groupe.

par L.A. » 14 Jan 2017, 17:07

Bonjour,

moi je cherche encore :rouge: mais sans doute sur une mauvaise piste...

J'ai supposé prendre deux éléments et d'ordre fini mais dont le produit est d'ordre infini, et je cherche à construire une infinité d'éléments d'ordre fini dans le groupe engendré par et . On peut penser aux conjugués , mais ils ne sont tous distincts qu'à condition que soit différent de pour tout n>0.

Pour n=1 c'est évident que , ce qui laisse à espérer que ça pourrait être aussi vrai pour n>1... Dans un grand produit une relation telle que pourrait faire des ravages.

Qu'en pensez-vous ?

Imod
Vétéran
Messages: 6330
Enregistré le: 12 Sep 2006, 12:00

Re: éléments d'ordre fini d'un groupe.

par Imod » 14 Jan 2017, 19:24

Je ne pense pas que tu puisses y arriver comme ça :mrgreen:

Voilà comment j'ai procédé : on considère un élement le sous-groupe engendré pas les éléments d'ordres finis . On choisit une écriture minimale ( avec le moins de facteurs possible ) : , il faut montrer que ne peut pas excéder le cardinal de . On peut déjà remarquer que si ce résultat est établi alors le problème est résolu , étant un groupe fini , tous ses éléments sont d'ordre fini et . Après si le nombre de facteur de est supérieur au cardinal de on va retrouver deux fois le même facteur . Les deux facteurs ne peuvent pas être voisins car si est d'ordre fini , l'est aussi . De même peut se ramener à etc .

Imod

Avatar de l’utilisateur
Ben314
Le Ben
Messages: 16907
Enregistré le: 11 Nov 2009, 22:53

Re: éléments d'ordre fini d'un groupe.

par Ben314 » 15 Jan 2017, 03:40

C'est aussi la façon que j'ai de procéder, et si on regarde bien la preuve, ce qu'on montre en fait, c'est un résultat un peu plus général et surtout beaucoup plus "évident" à démontrer vu sa formulation :

Lemme : Si un groupe quelconque est engendré par une partie "stable par conjugaison", c'est à dire telle que, pour tout on ait et alors tout peut s'écrire sous la forme avec , et où les sont des éléments distincts de .

Donc si on suppose de plus que est fini et que tout les éléments de sont d'ordre fini, cela prouve que est fini.

Il suffit alors d'appliquer ce résultat au groupe et à la partie de Imod (les conjugués d'éléments d'ordre fini sont bien d'ordre fini)
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius

Monsieur23
Vétéran
Messages: 3963
Enregistré le: 01 Oct 2006, 18:24

Re: éléments d'ordre fini d'un groupe.

par Monsieur23 » 17 Jan 2017, 07:53

J'en étais là aussi (en fait, c'est rajouter "distingué" dans l'énoncé qui m'a débloqué), mais je n'arrive pas à écrire proprement la démo du lemme. Mon problème, c'est qu'après avoir rassemblé tous les f_1, rien ne me dit que je ferais pas apparaître de f_1 en rassemblant les f_2, etc.
Donc ma méthode qui trouve la factorisation en facteurs unique ne termine potentiellement jamais.
« Je ne suis pas un numéro, je suis un homme libre ! »

Avatar de l’utilisateur
Ben314
Le Ben
Messages: 16907
Enregistré le: 11 Nov 2009, 22:53

Re: éléments d'ordre fini d'un groupe.

par Ben314 » 17 Jan 2017, 09:28

Tu procède soit comme Imod le dit en prenant pour un donné une expression de en fonction des qui soit de longueur minimale, soit par récurrence sur la longueur des mots.
Au niveau des calculs, ça revient très très exactement au même, mais contrairement à Imod, j'aurais tendance à préférer la récurrence (parce que ça évite de faire de l'absurde et que ça donne vaguement l'impression qu'on a un algorithme de réduction)

On considère donc le proposition : Tout pouvant s'écrire avec , peut aussi s'écrire avec et où les sont des éléments distincts de (et ).

L'amorce pour (et ) est évidente.
Pour l'hérédité, on suppose que la propriété est vrai pour un certain et on considère .
Vu l'hypothèse de récurrence, on peut se ramener à un cas où sont distincts.
Si est distinct des , c'est fini.
Si est égal à un certain alors vu l'hypothèse faite sur (plus une mini récurrence), on sait que est dans .
On a alors c'est à dire .
De même, pour un certain , , etc...
On a donc
Or, comme on a qui est une écriture de ne contenant plus que éléments (sans doute non distincts) de et grâce à l'hypothèse de récurrence, cela montre qu'il y a une écriture de ne contenant que des éléments distincts de .

En fait, cette partie "calculs", on peut aussi "l'enrober" en disant que, lorsqu'une écriture de contient au moins un "doublon", alors on peut "simplifier" ce doublon et que, bien que ça risque de provoquer l'apparition de nouveaux "doublons" (à mon avis c'était ça ton problème) comme ça a fait diminuer de 1 la "pseudo-longueur" (*) du mot en question, ça signifie qu'on ne pourra pas continuer ad vitam aeternam à simplifier des doublons.

C'est pour ça que ce que proposait Imod est éventuellement plus simple au niveau raisonnement (mais c'est évidement les mêmes calculs) : si au départ tu suppose que tu as une écriture de longueur minimale de et que tu suppose qu'elle contient un doublon tu arrive à la conclusion qu'on pouvait diminuer la longueur ce qui est absurde.

(*) Dans la littérature, ce qu'on appelle en général la "longueur" du mot, ça serait plutôt la somme des valeurs absolue des , sauf que cette "longueur" là, elle risque de na pas diminuer.

P.S. C'est éventuellement moins chiant à rédiger dans le cas particulier où désigne l'ensemble des éléments d'ordre fini de vu que est non seulement "stable par conjugaison", mais il est aussi "stable par puissances" : si alors pour tout donc dans la preuve, on peut se passer des exposants.
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius

Monsieur23
Vétéran
Messages: 3963
Enregistré le: 01 Oct 2006, 18:24

Re: éléments d'ordre fini d'un groupe.

par Monsieur23 » 17 Jan 2017, 12:25

Ok, merci :-) Je n'avais pas pensé à utiliser deux fois l'hypothèse d'induction.
« Je ne suis pas un numéro, je suis un homme libre ! »

 

Retourner vers ⚔ Défis et énigmes

Qui est en ligne

Utilisateurs parcourant ce forum : Aucun utilisateur enregistré et 2 invités

Tu pars déja ?



Fais toi aider gratuitement sur Maths-forum !

Créé un compte en 1 minute et pose ta question dans le forum ;-)
Inscription gratuite

Identification

Pas encore inscrit ?

Ou identifiez-vous :

Inscription gratuite