G ayant un nombre fini de sous groupes => G fini

[chinchot]

Bonjour, encore une petite question sur les groupes :

Démontrer que tout groupe ayant un nombre fini de sous groupes est fini.

Par avance merci.

[chinchot]

Est ce la solution ?

en raisonnant par contraposée :

g infini => G isomorphe à Z => infinité de sous groupes de la forme nZ

[tize]

g infini => G isomorphe à Z

ça me parait faux...non ?

[fahr451]

erreur :infini n 'implique pas isomorphe à Z
ex (R,+)

[tize]

erreur :infini n 'implique pas isomorphe à Z
ex (R,+)

Tout à fait d'accord, je pense qu'on peut même trouver des groupe infini n'ayant aucun sous groupe isomorphe à . Exemple

[fahr451]

une solution est:
si G contenait un élément a d 'ordre infini serait isomorphe à Z et donc contiendrait une infinité de sous groupes. absurde.
tous les sont donc finis et sont en nombre fini par hypothèse ; G étant la réunion des est fini.

[fahr451]

Pour complèter cette question :
prenons un nombre premier p et considérons pour k dans N U(p^k) :
l 'ensemble des racines p ^k ieme de l 'unité c'est un groupe cyclique(donc fini).en prenant G la réunion sur k dans N des U(p^k) on obtient un groupe (infini) non monogène dont tout sous groupe strict est cyclique.

[Imod]

Un problème du même style assez amusant : Si un groupe G admet un nombre fini d'éléments d'ordres finis alors ces éléments constituent un sous-groupe (fini) de G ( distingué dans G ) .

Imod

[chinchot]

donc contiendrait une infinité de sous groupes. absurde

pourquoi est-ce absurde ?

[fahr451]

ben l hypothèse n 'est elle pas que G et donc a fortiori tout sous groupe de G n 'a qu un nombre fini de sous groupe ?

[chinchot]

je comprends pas.
Si vous raisonnez par l'absurde alors l'hyp est : G a un nombre infini de sous groupes.

[chinchot]

G est la réunion des

ça non plus je comprends pas !! vraiment désolé !

[fahr451]

je reprends depuis le début:
Hypothèse G n 'a qu 'un nombre fini de sous groupes.
On montre d'abord par l'absurde que Gn'a pas d élément d'ordre infini.
On suppose donc le contraire soit a un tel élément est isomorphe a Z car Z->, n -> a^n est un morphisme surjectif et injectif ( a étant d ordre infini). Z ayant une infinité de sous groupes par iso aussi or tout sous groupe de est aussi un sous groupe de G . ceci est absurde.
tous les elements de G sont donc d ordre fini les sont tous finis il n ' y en a qu un nbre fini (ce sont des sous groupes de G) or pour tt a de G ,a est dans donc tout element de G est ds la réunion de ces sous groupes finis qui sont en nbre fini conclusion il n y a qu un nbre fini d elts ds G. (ouf)

[chinchot]

Un très grand merci !

:++:

[Youssefkerkeni]

Salut,
J'ai compris la premiere partie de la demonstration ( <a> est un groupe homoge infinie donc isomorphe a Z ce qui est absure .) Cependant, J'ai pas compris la seconde partie. Vous avez demontre que tous les elements de G sont finie et on sait par hypothese que G contient un nombre finie de sousgroupes. Comment peut on conclure d'apres ces deux conditions que G est finie???
Merci,

[Ben314]

Si on note <x> le sous groupe de G engendré par l'élément x de G alors :
1) G est évidement la réunion des <x> pour x décrivant G.
2) Tout les <x> sont finis vu que tout élément de G est d'ordre fini.
3) Il n'y a qu'un nombre fini de <x> différents vu que par hypothèse G n'admet qu'un nombre fini de sous-groupe.
Donc G est une réunion finie d'ensembles finis.

Par contre, le truc de Imod :

Si un groupe G admet un nombre fini d'éléments d'ordres finis alors ces éléments constituent un sous-groupe (fini) de G (distingué dans G).

pour le moment, je suis sec...

[Maxymyze]

Il y a des groupes infinis qui n'ont que des éléments d'ordre fini. (Groupes de torsion)

[tournesol]

E infini , n'a que des éléments d'ordre
K corps ; idem
Joli Ben314

[Maxymyze]

Tout groupe est l'union de ses sous-groupes cycliques (les singletons formant une partition, les groupes cycliques forment une exhaustion).
Soit un groupe G infini ayant un nombre fini de sous-groupes.
Il n'a, en particulier, qu'un nombre fini de sous-groupes cycliques.
Donc l'un au moins de ces sous-groupes cycliques est infini.
Or un groupe cyclique infini a une infinité de sous-groupes (Il est isomorphe à Z), lesquels sont aussi une infinité de sous-groupes de G. Contradiction.