Démonstration geometrie (terminale++)

[LjjMaths]

Bonsoir à tous, le sujet de l exo peut paraître un peu compliqué a priori mais bon
Comment pourrais je démontrer que "les symetriques des sommets d un triangles par rapport au côté qui leur est opposés sont alignés ssi la distance entre l orthocentre et le centre du cercle circonscrit vaut le diamètre de ce dernier"

J'ai pris le triangle ABC avec les symétrique A' B' et C'
H l orthocentre, O le centre du cercle et M un point de ce cercle aligne avec O et H
J ai dis que vectoriellement parlant, le fait de dire que H et O sont distant d un diamètre revient à dire que OH=2*OM
Et de ça je veut montrer que A'B' et A'C' sont colinéaire mais je patauge un peu (je pense que il faut faire intervenir quelque part le fait que O et H sont des points remarquables et que des sommes de Chasles ne suvisent pas)

Merci d'avance pour votre aide !

[Lostounet]

Salut,


On peut prouver la formule (avec tes notations): (a,b,c les longueurs du triangle et R rayon du cercle circonscrit). Si cela nous chante, on veut prouver que l'alignement des symétriques équivaut à:
(pour une preuve tu peux voir ici: http://www.cut-the-knot.org/arithmetic/ ... l#solution )


Sinon je pense avoir déjà fait un exo qui ressemble: je pense qu'il peut -être utile de regarder le cercle d'Euler du triangle ABC et de placer le centre de gravité G. On peut ensuite envisager de regarder l'image des symétriques par une certaine homothétie ... (je regarde demain)

J'ai essayé de travailler dans un repère (non orthonormal pour le coup) mais ça donne des trucs trop moches.

[LjjMaths]

D'accord, Je vais essayer de creuser avec cette piste, merci

[Ben314]

Salut,
J'ai p'têt une soluce, mais c'est passablement long (mais... assez joli...)

Capture.png (25.49 Kio) Vu 982 fois

- sont les symétrique orthogonaux des sommets par rapports au cotés opposés.
- sont les milieux des cotés.
- sont les pieds des hauteurs donc les milieux respectifs de .
- est le centre du cercle d'Euler passant par .
- sont les les projetés orthogonaux de sur les cotés du triangle donc en fait les milieux respectifs de .

)


De même donc sont alignés ssi le sont.
Or il est bien connu (et pas très dur à démonter) que les projetés orthogonaux d'un point M sur les 3 cotés d'un triangle sont alignés ssi le point M est sur le cercle circonscrit au triangle.
Donc sont alignés ssi est sur le cercle circonscrit à c'est à dire ssi où et le centre du cercle circonscrit et son rayon.
Enfin, si désigne le centre de gravité du triangle et son orthocentre, on sait que .
De plus, comme sont respectivement le centre de gravité, l'orthocentre et le centre du cercle circonscrit de , on a aussi .
On en déduit que et donc que ssi .

EDIT : Il y a peut être un peu plus direct vu qu'en fait, sont les images de par l'homothétie de centre et de rapport 4 qui a le bon gout d'envoyer sur .
Ca semble donc pas con de considérer le triangle "4 fois plus grand" que (ABC) vu que sont les projetés orthogonaux de sur les cotés de ce triangle.

[LjjMaths]

Merci bcp pour cette démonstration plutôt jolie qui m a appris ce qu es le cercle d euler !
Bonne année à vous !

[Ben314]

Capture.png (28.4 Kio) Vu 913 fois

On peut effectivement se passer du cercle d'Euler :
- les symétrique orthogonaux des sommets du triangle par rapports au cotés opposés.
- le centre de gravité du triangle, son orthocentre, le centre du cercle circonscrit et son rayon.
- les images de par l'homothétie de centre de rapport 4 : le cercle circonscrit à est donc celui de centre et de rayon .


Donc l'image de par l'homothétie de centre et de rapport 2 est sur la droite .
De même donc est aussi sur et donc est l'image de par .
Comme est l'image par du pied de la hauteur issue de lui même situé sur , c'est que est sur la droite et c'est donc en fait le projeté orthogonal de sur .
De même, et sont les projetés orthogonaux de sur et .

Vu les angles droits, les points et sont situés sur le cercle de diamètre donc les points sonc cocycliques et on a .
De même, on a et on a donc :
alignés


sont cocycliques


Or (propriété classique concernant la droite d'Euler)
Donc

[LjjMaths]

Je trouve ça très bien mais je comprends pas bien pourquoi dire que
AB''=2AB+1/4C''B''
Revient à dire que l image de B par l homothétie ha appartient à B''C'´

(A vrai dire je ne maîtrise pas bien les homothétie )

Je pense que c'est par c'est parce que cela revient à dire que 2BB''=1/4C'´B'´ Mais je ne suis pas sur

[Ben314]

L'image de par l'homothétie de centre et de rapport 2 c'est le point tel que (c'est la définition même d'une homothétie).
Donc le fait que signifie que soit encore que .

[LjjMaths]

D accord merci bcp g tout compris !

[siger]

bonjour

OK
mais ........
quelqu'un pourrait-il realiser un dessin ou les points A', B' et C' sont effectivement alignés?
ou
celui d'un triangle ou la distance entre les points O et H soit egale au diametre du cercle circonscrit?

[chan79]

salut
on peut utiliser le centre de gravité qui vérifie

[Ben314]

- Tu trace deux cercle et de même centre et de rayon respectifs et .
- Tu choisi un point de et un point de et tu construit tel que
- La perpendiculaire à passant par coupe en et (si ça coupe pas, déplacer ou )
ABC est, par construction, un triangle solution du problème.

[chan79]

Cas particulier:
On peut commencer la construction en traçant deux triangles équilatéraux OAB et OAC, puis le triangle équilatéral BCH
B' et C' sont confondus avec H
A' est confondu avec O, centre du cercle circonscrit à ABC.

[siger]

salut

OK
merci à Chan79 et à Ben314 pour ces explications et ces dessins!